distance entre deux courbes

c'est quoi "une expression algébrique" ?

Une toute petite remarque :

La notion de distance doit venir naturellement d'une topologie.

Soit on parle de topologie sur des fonctions et on a les notions de convergences classiques (uniforme, etc.), soit on veut vraiment munir l'ensemble des courbes (disons continues [*] pour simplifier) d'une topologie, avec l'idée de définir la proposition suivante : la suite $C_n$ de courbes converge vers la courbes C.

Et là, sauf bêtise, c'est un problème ouvert (ou pire, il n'y a pas de bonne notion de distance).

Je connais ce résultat pour les droites, et je pense que c'est le même problème pour les courbes.

Le principal problème est l’unicité de la limite : prenez 2 droites parallèles, et une 3ème droite qui les coupe. Faites pivotez la sécante « vers » la direction des 2 parallèles. Il n’existe aucune notion de distance qui discrimine l’une des 2 droites.

[*] Continue dans le sens qu'il existe f continue sur $\R$ telle que C soit sa courbe représentative.

Airy.

Bonjour.

La distance entre les deux courbes est, si elle existe, $\min_{A\in C_0,B\in C_1}d(A,B)$.

Voilà une méthode de calcul infaillible, mais qui peut être délicate à mettre en oeuvre :
\begin{itemize}
\item tu considères le point courant sur l'une des deux courbes, dans ton exemple, je choisirai $M(x,e^x)$, et je cherche la distance de point à la première bissectrice ;
\item j'obtiens ainsi une fonction de l'abscisse $x$ du point $M$ qui a, dans ce cas précis, un minimum que tu dois déterminer.
\end{itemize}

Bruno

Bonjour

je crois que j'ai dit n'importe quoi: mon systeme traduit :
si la distance est atteinte aux points $M(x,f(x))$ et $M'(y,g(y))$ alors les tangentes sont paralleles et perpendiculaires a $(MM')$ ce qui n'est pas vrai en general.

En reprenant toutes les idees ci-dessus il faudra minimiser la distance (ou le carre de la distance) selon ce que Bruno a dit:

D^2 (x,y) = (y-x)^2 + (g(y)-f(x))^2

et donc les derivees partielles par rapport a x et y devront mises a Zero comme suit:

2.(x-y) + 2.f'(x).(f(x)-g(y)) = 0
2.(y-x) + 2.g'(y).(g(y)-f(x)) = 0

Nous retrouvons ce que Bob a mentionne ci-haut:

f'(x) = g'(y)
f'(x).(g(y)-f(x)) = x-y

ce qui confirme l'intuition de Bob.

CQFD

Ce qui me gêne dans tout ce que vous avez dit c'est que vous considérez que la distance sera atteinte (ce qui est certes déjà une première étape).

A priori on n'en sait rien du tout. Surtout si Glouton s'intéresse aussi au cas des asymptotes sans point commun...

H.