Surface d'un cercle fonction de X
Bonsoir,
Je ne suis pas du tout mathématicien mais automaticien et j'aurais besoin de vos bons conseils pour résoudre un problème sur un projet. Voilà, d'habitude, pour calculer le volume d'une cuve, rien de plus facile quand elle est debout (diamètre de la cuve + hauteur du liquide = volume trouvé !). Mon problème est que cette cuve est couchée ! J'ai bien réussi à trouver l'équation du cercle mais je ne sais pas comment calculer la surface d'un cercle. Epargnez-moi les S = PI*r² !
Je ne suis pas du tout mathématicien mais automaticien et j'aurais besoin de vos bons conseils pour résoudre un problème sur un projet. Voilà, d'habitude, pour calculer le volume d'une cuve, rien de plus facile quand elle est debout (diamètre de la cuve + hauteur du liquide = volume trouvé !). Mon problème est que cette cuve est couchée ! J'ai bien réussi à trouver l'équation du cercle mais je ne sais pas comment calculer la surface d'un cercle. Epargnez-moi les S = PI*r² !
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Réponses
diamètre de la cuve + hauteur du liquide = volume trouvé !
quelle est l'équation de ton cercle?
sinon je vois pas la différence entre debout et couchée : la cuve est la même
c'est facile, il suffit de remettre la cuve debout.
J'imagine que ta cuve est cylindrique et que lorsque tu dis « debout » tu veux dire « posé sur l'un de ses disques de base ». Si c'est bien le cas, alors ton « (diamètre de la cuve + hauteur du liquide = volume trouvé !) » est faux ! Il faut le remplacer par « la hauteur du liquide est proportionnelle au volume cherché ». Cela signifie que, exprimées dans certaines unités appropriées de de hauteurs et de volumes, les nombres qui mesurent cette hauteur et ce volume sont les mêmes. (Si on rentre dans les détails, dans des unités de hauteur et de volume « correspondantes », le coefficient de proportionnalité est $\pi r^2$).
Lorsque ta cuve est couchée, le calcul du volume en fonction de la hauteur est très compliqué : il n'y a pas de proportionnalité. Si les $\pi$ et la carrés te font peur, alors là c'est encore pire : il y a des horribles racines carées !
Veux-tu toujours connaître cette formule ? Dis le moi, car il faut que je la recherche, je ne l'ai pas en tête.
Je ne vois pas non plus ce que tu veux dire par équation du cercle. Mais écris quand même ce que tu as trouvé...
Cordialement,
J.-M. B.
J'ai donc trouvé l'équation d'un cercle ($y=\sqrt{-x^2+2x}$) mais je ne me souviens plus comment on calcule (ni comment ça s'appelle) la surface entre l'équation et l'abscisse entre 2 points sur l'abscisse (suis-je clair ?). Je sais qu'il faut que je calcule la dérivée ou l'intégrale mais ensuite je ne sais plus du tout...
* Un premier conseil : bien définir de quoi on parle. Par exemple le volume d'une cuve n'est pas le volume du liquide contenu dans la cuve (sauf si elle est pleine).
* Si la cuve est posée sur un des ses disques (la cuve est limitée par un cylindre et deux disques), le volume du liquide est la surface de base (soit Pi r², où r est le rayon du cylindre et des disques) multipliée par la hauteur du liquide.
* Par contre, si la cuve est placée "à l'horizontale", donc l'axe du cylindre est horizontal, la formule devient L S, où L est la longueur du cylindre et S la surface d'une coupe verticale du liquide. Il reste à trouver S en fonction de la hauteur h du liquide (Je regarde et je reviens)
Cordialement
Cordialement.
(là j'ai la formule toute prête dans un des TD, pour le cas général de rayon $R$ il faut remplacer $h$ par $h/R$ et tout multiplier par $R^2$, et pour traiter le cas où la cuve est plus qu'à moitié remplie on raisonne par symétrie).
Indications pour le prouver :
- commencer par se placer dans un repère centré au "centre" de la cuve ; le liquide occupe donc tous les points du disque $x^2+y^2 \leq 1$ tels que $-1 \leq y \leq -1+h$.
- on obtient alors $V(h)=L \int_{-1}^{-1+h} \sqrt{1-y^2} dy$
- l'intégrale peut se calculer par le changement de variable $y=\sin \theta$..
Bon courage...
(là j'ai la formule toute prête dans un des TD, pour le cas général de rayon $R$ il faut remplacer $h$ par $h/R$ et tout multiplier par $R^2$, et pour traiter le cas où la cuve est plus qu'à moitié remplie on raisonne par symétrie).
Indications pour le prouver :
- commencer par se placer dans un repère centré au "centre" de la cuve ; le liquide occupe donc tous les points du disque $x^2+y^2 \leq 1$ tels que $-1 \leq y \leq -1+h$.
- on obtient alors $V(h)=L \int_{-1}^{-1+h} \sqrt{1-y^2} dy$
- l'intégrale peut se calculer par le changement de variable $y=\sin \theta$...
Bon courage...
Il ne me reste plus qu'à me remettre en mémoire comment marche les intégrales.
inutile d'aller chercher le calcul integral..
il suffit de savoir que l'aire d'un secteur angulaire d'angle 2a vaut aR²
( angle exprimé en radians et R rayon du cercle) et de savoir calculer l'aire d'un triangle ..
Oump.
Pour Mathieu2709 : Je ne vois pas d'où tu sors ta formule qui est manifestement fausse (2-x² fait référence à un cercle de rayon racine de 2).
Cordialement.
Cordialement.
La formule que j'ai sorti initialement est le résultat d'une mélange du cas $1 \leq h \leq 2$ avec une erreur de calcul...à oublier.
Je pense que Mathieu2709 voulait parler de l'intégrale de $2x-x^2$ qui provient d'un changement de variable à partir de celle que j'ai écrite. Mais celui-ci ne me semble pas très heureux : l'intégrale de $\sqrt{1-y^2}$ est assez facile à trouver, et si on veut éviter le recours aux intégrales [comme cet exercice me servira d'illustration dans un TD sur les intégrales, ce n'est pas mon cas :-)] la méthode d'Oumpapah est bien sûr à suivre.
Je suis maintenant (presque ?) sûr que la formule $V(h) = 5(\arcsin(-1+h)+\pi/2+(h-1)\sqrt{2h-h^2})$ est valable, et on constate même qu'elle est en fait valable pour tout $h$ entre 0 et 2.
Je suis maintenant (presque ?) sûr que la formule $V(h) = 5(\arcsin(-1+h)+\pi/2+(h-1)\sqrt{2h-h^2})$ est valable, et on constate même qu'elle est en fait valable pour tout $h$ entre 0 et 2.
Voilà un corrigé en pièce jointe.
Merci beaucoup GLaG (surtout si ça marche)
Mais ça peut constituer un exemple élémentaire et concret de l'utilité des méthodes numériques quand les méthodes algébriques ne suffisent pas.
soit h la hauteur d'eau et L la longueur de la cuve
et R le rayon de la section circulaire
V= LS avec
S(h)=(h-R)( 2hR-R²)½ +2R²Arcsin[(h/2R)½]
( formule valable pour h variant de 0 à 2R)
( sans integration et avec la methode que j'ai indiquée)
Oump.
et pour h>R une formule plus compliquée (qui se simplifie sans doute) :
R²(Pi-Arcsin(h/R - 1)) - (R-h))(2Rh-h²)^(1/2)
Bonsoir à tous
bug en recopiant..
lire:
S(h)=(h-R)(2hR -h²)½ +2R²ArcSin[(h/2R)½]
(petite verif:
pour h=0 :0 ; pour h=R : 2R²ArcSin(1/V2) = R²Pi/2
et pour h=2R : 0+2R²ArcSin(1)=Pi.R² )
cette fois je pense que c'est bon..
Oump.
[Et voilà la représentation graphique, pour R=1m (Merci WWIMS). AD]
Cordialement.
merci Alain!
Oump
Je cherchais la même chose que vous, j'ai trouvé le lien si dessous, qui vous donne (en ligne) le volume restant de fioul, je n'atteste pas son exactitude.
http://www.malgouyres.fr/divers/cuveFioul.php
Si je trouve la formule, je ne manqurai pas de la communiquer.
Cordialement
www.homediag.fr