Un classique ...

zig0 · September 2001

Pour ceux qui ne le connaissent pas :

Soient f et g deux applications continues du segment réel [0;1] dans lui-meme, et telles que f o g = g o f (composition).

Alors f et g se coupent, i.e. il existe x dans [0;1] tel que f(x) = g(x).

Malot Philippe · September 2001

<HTML>En effet, on a donc f bijective et f=g^(-1).Soit x l'unique point fixe de f, alors
g(x)=gof(x)=x=f(x).

Richard André-Jeannin1 · September 2001

<HTML>Je ne vois pas pourquoi f serait bijective, on sait seulement que f0g=g0f

zig0 · September 2001

<HTML>Pourquoi f serait-elle bijective ?
Et pourquoi aurait-on f=g^(-1) ?

Les hypothèses sont seulement que f et g sont continues et qu'elles commutent pour la composition.

Pierre RENFER · September 2001

<HTML>Bonjour,

L'exercice proposé me paraît bizarre.
L'exercice classique consiste à montrer qu'une application f continue de [0,1] vers lui-même admet au moins un point fixe.

On considère h(x)=f(x)-x
h(0) est supérieur ou égal à 0
h(1) est inférieur ou égal à 0
La continuité de h permet de conclure par le théorème de la valeur intermédiaire.

pierre RENFER1 · September 2001

Je regrette ma réaction première (due à l'attraction d'un autre exercice) qui m' a fait qualifié l'exercice de bizarre. C'est un exercice très joli.

Voici une démonstration par l'absurde :
Supposons $f(x)$ et $g(x)$ distincts pour tout $x$ dans $[0,1]$.
Alors $h(x)=f(x)-g(x)$ est non nul pour tout $x$.
Le signe de $h(x)$ est constant sinon $h$ s'annulerait en un point d'après le théorème de la valeur intermédiaire.
Supposons par exemple $h(x)$ strictement positif pour tout $x$.
L'image, par la fonction continue $h$, de l'intervalle compact $[0,1]$ est un intervalle compact $[m,M] $, avec $m$ strictement positif.
Donc : $\forall x \in [0,1] ,\ f(x) > g(x) + m$
On montre alors facilement par récurrence que :
$\forall n \in \mathbb N^* ,\ \forall x \in [0,1] ,\ f^n(x) > g^n(x) + nm$
En faisant tendre $n$ vers l'infini, on obtient une contradiction.

Richard André-Jeannin1 · September 2001

<HTML>L'hypothèse de continuité est essentielle, comme le montre l'exemple suivant:
f(x)=0, si x >=0 et x strict. inf. à 1/2
f(1/2)=1/3
f(x)=1 si x>1/2

g(x)=1, si x >=0 et x strict. inf. à 1/2
g(1/2)=2/3
g(x)=0 si x>1/2
sauf erreur on a f 0 g = g 0 f et pourtant f(x) différent de g(x) pour tout x

zig0 · September 2001

<HTML>Comme le préconise Pierre Renfer, le raisonnement par l'absurde s'impose.
Ma solution est quelque peu différente :

Si donc f et g ne se croisent pas, alors l'application (f-g) ne s'annule pas, et étant continue garde un signe constant, par exemple strictement positif sur [0;1].
Considérons l'ensemble F des points fixes pour f, qui est non vide comme nous le rappelle M. Renfer dans sa première réponse, et qui d'autre part est fermé comme image réciproque du fermé {0} par l'application F-id.
Ainsi soit a un élément de F, et soit (Xn) la suite définie par:
Xo = a
Xn+1 = g(Xn)

Alors cette suite est une suite F; cela se démontre par récurrence, car Xo = a
est dans F, et si Xn est dans F, alors Xn+1 = g(Xn) = g(f(Xn)) = f(g(Xn)) = f(Xn+1).

De plus, cette suite est décroissante; en effet,
Xn+1 - Xn = g(Xn) - f(Xn) = (g-f) (Xn) qui est supposé négatif.

Comme de plus cette suite est clairement minorée, elle converge (dans [0;1] qui est fermé) ; soit t sa limite.

Comme (Xn) est une suite de F et que F est fermé, t est dans F, et donc f(t)=t.

De plus, g est continue, donc la limite de (Xn) vérifie t=g(t).

Par suite on a f(t) = g(t), ce qui est absurde.

Richard André-Jeannin1 · September 2001

<HTML>L'examen de la démonstration de Pierre Renfer suggère une version plus forte de l'énoncé: on peut remplacer l'égalité des fonctions f 0 g et g 0 f par l'hypothèse:
il existe un nombre a tel que f o g (a)=g o f (a). En suivant la méthode de Pierre Renfer, on arrive à : f^n(a) >= g^n(a) + nm.

Malot Philippe0 · September 2001

<HTML>Oooops. Je suis allé un peu vite... Et vous m'avez pris de vitesse ! Je n'ai même pas eu le temps de répliquer !

pierre RENFER1 · September 2001

Je ne crois pas que l'hypothèse réduite de Richard André-Jeannin suffise.
Je n'avais pas détaillé la récurrence, avec l'hypothèse forte :
Pour passer de l'étape $n=2$ à l'étape $n=3$ par exemple, on utilise :
$f^3(a) > g^2\circ f(a)+2m =f\circ g^2(a)+2m > g^3(a)+3m$.
Pour l'égalité du milieu, on a besoin $g\circ f=f\circ g$ au point $a $, mais aussi au point $f(a)$

Richard André-Jeannin1 · October 2001

<HTML>Exact. Je suis allé un peu trop vite.

Un classique ...

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