méthode des tangentes

Denis0 · September 2001

Bonjour,
Je voudrais savoir pourquoi la méthode des tangentes, si utilisée en chimie, marche. En effet, les profs ont l'air de considérer cette méthode comme acquise mais pas un seul n'a su me la justifer. Je m'en remets donc à vous en espérant sincèrement que vous m'aiderez (je vais devoir présenter ceci à l'oral car j'ai un peu énervé mon prof de physique).

Merci pour vos réponses (en espérant qu'il y en ait !!!!)

Denis

Richard André-Jeannin1 · September 2001

<HTML>Pourriez vous expliquer ce que vous entendez par "méthode des tangentes"?

Denis0 · September 2001

<HTML>C'est déterminer le point d'inflexion d'une courbe en chimie par exemple en traçant 2 tangentes, etc

Denis

Richard André-Jeannin1 · September 2001

<HTML>Pourriez vous être plus précis?

Denis0 · September 2001

<HTML>Je peux toujours être plus précis pour qqn qui veut me rendre service.
Soit C une courbe possédant un point d'inflexion E (ex : arctangente en (0,0)).
Traçons 2 tangentes tel que la moyenne des abscisses des points en lesquels les tangentes touchent la courbe soit l'abscisse de E (je ferais bien un schéma mais je ne peux pas ici). Soit G une droite perpendiculaire à une tangente ( et donc aux 2 puisque elles sont parallèles).
Soit H et H' les points d'intersection.
Soit U le milieu de [HH'].
Considérons h la droite perpendiculaire à G passant par U.
Montrer que h coupe C en E.

Denis

J.Jacquelin · September 2001

<HTML>Ca y est, je re-situe la question :
En chimie, on mesure une grandeur Y (par exemple le PH d'une solution) en fonction d'un paramètre X (par exemple la quantité d'un réactif qu'on ajoute goutte à goutte). On trace une courbe Y(X) passant au mieux par les points expérimentaux. Lorsque cette courbe présente un point d'inflexion, cela a une signification qui permet de déterminer des connaissances intéressantes ( par exemple la teneur d'un composé qui se trouve en solution).
Le problème pratique est de déterminer avec autant de précision que possible la valeur X correspondant au point d'inflexion.
Dans les appareils automatiques de dosage, il existe des logiciels qui font cela et qui comprennent une partie d'analyse statistique pour calculer les paramètres de la courbe la plus probable. Puis le ou les points d'inflexions sont déterminés numériquement.
La question posée ici fait allusion a une méthode graphique "à la main". Je me souvient d'avoir vu cela autefois. Mais n'étant pas dans le domaine de la chimie, cela m'était sorti de l'esprit. Ceci dit, on n'est pas beaucoup plus avancé . . .

J.Jacquelin · September 2001

<HTML>A mon avis, il ne faut pas rechercher une démonstration rigoureuse, car c'est un problème de math. appliquées pour lequel on cherche une solution approchée.
La difficulté pratique que l'on cherche à résoudre est la suivante : le repérage "à l'œil" d'un point d'inflexion est imprécis. On cherche a améliorer le procédé. Ainsi, au début, on ne connaît pas la position exacte du point d'inflexion (Ei). Le point E que l'on prend est voisin de Ei. La construction indiquée par Denis donne, à l'intersection de la courbe avec la droite éta, un nouveau point E' plus voisin de Ei que E ne l'était.

Revenant à la démonstration théorique demandée par Denis, c'est à dire en supposant le point E=Ei connu, Le point d'intersection E' sera exactement confondu avec E et Ei si la courbe est symétrique au voisinage de E (si la courbure est exactement la même, mais de signes opposés de part et d'autre de E). Ceci n'est pas rigoureusement vrai. Je pense qu'il faut le démontrer en prenant le développement limité au voisinage de E jusqu'au degré 4. On devrait ainsi déterminer l'écart "epsilonique" qui est peut être du 4ième ordre. Beau travail en perspective pour les amateurs de mathématiques appliquées à la physique.

J.Jacquelin · September 2001

<HTML>Pour aller plus loin dans la réponse à la question posée :
On simplifie les écritures en faisant un changement d'origine, que l'on place au point d'inflexion. La fonction s'écrit, après ce changement, et en la développant en série au voisinage de l'origine :
y=ax+bx^3+cx^4+ . . .
Le coefficient du terme en x^2 est nul parce que la dérivée seconde est nulle (point d'inflexion).
Soit un point P1 d'abscisse =D
La pente de la tangente au point P1 est: p=a+3bD^2+4cD^3+ . . .
Cherchons un point P2 dont la tangente a la même pente (il sera donc voisin du symétrique de P1 par rapport au point d'inflexion). Si l'abscisse de P2 est (-D+s), la pente en P2 sera :
p'=a+3b(-D+s)^2+4c(-D+s)^3+…
Pour que p'=p, il faut que :
3bD^2+4cD^3+…=3b(-D+s)^2+4c(-D+s)^3+…
en se limitant aux termes principaux, on en déduit :
s=-4cD^2/(3b)+…
L'abscisse de P2 est -D(1+4cD/(3b))+ . . .
Les équation des tangentes en P1 et P2 sont respectivement :
y=Y1+px et y=Y2+px avec :
Y1=aD+bD^3+cD^4+ . . . et
Y2=-aD(1+4cD/(3b))-b(D^3)(1+4cD/(3b))^3+c(D^4)(1+4cD/(3b))^4+ . . .
Puis, en se limitant aux termes principaux :
Y2=-aD(1+4cD/(3b))-b(D^3)(1+12cD/(3b))+c(D^4)(1+16cD/(3b))+ . . .
La droite parallèle à mi-distance entre les tangentes a pour équation y=Y+p.x avec :
Y=(Y1+Y2)/2=-2ac(D^2)/(3b)-6bc(D^4)/(3b)+ . . .
Le point E' d'intersection de cette droite avec la courbe a pour abscisse (e) tel que :
Y+p.e=a.e+b.e^3+c.e^4+ . . .
Comme (e) est petit et en se limitant aux termes principaux : e=Y/(a-p)+ . . .
e=(-2ac(D^2)/(3b)-6bc(D^4)/(3b)+ . . .)/(3bD^2+4cD^3+ . . .)
Finalement : e=-2c(a+3b(D^2))/(3b)^2+ . . .
- Si la courbe est symétrique par rapport au point d'inflexion, c=0 donc e=0. Le point E' trouvé tombe bien au point d'inflexion.
- Si la courbe n'est pas rigoureusement symétrique, le point E' obtenu ne tombe pas exactement au point d'inflexion. On a un petit écart (e) donné par la formule approchée précédente.

En espérant qu'il n'y a pas d'erreur dans ces développements !

Remarque : dans la procédure graphique étudiée ici, on détermine le point P2 de telle sorte que sa tangente soit parallèle à la tangente en P1. C'est un peu différent d'une procédure consistant à se fixer P1 et P2 tels que leurs abscisses soient équidistantes de l'abscisse du point d'inflexion, ceci pour deux raisons : d'une part on ne connaît pas à-priori la position exacte du point d'inflexion, d'autre part, les deux tangentes ne seraient pas rigoureusement parallèles, ce qui constituerait deux causses d'erreur supplémentaires.

Prof Pan. · December 2012

Le sujet a été ouvert il y a onze(!) ans mais je viens de me repencher dessus. Voici une image crée avec GeoGebra plutôt qu'un long calcul pour "voir" que cette méthode ne marche pas. Ici la fonction est un polynôme de degré 5 avec un terme en $x^2$ et donc n'admet pas de centre de symétrie. La méthode des tangentes enseignée autrefois en chimie n'est donc pas correcte.

file.php?2,file=26296

Bruno · December 2012

C'est une argumentation un peu brève car la méthode des tangentes permet d'obtenir une estimation des coordonnées du point d'inflexion. Il reste le problème de la qualité de cette estimation.

Bruno

Guego · December 2012

De mémoire, la méthode ne marche pas pour toutes les fonctions. Par contre, elle marche pour les fonctions sur lesquelles on l'utilise justement en chimie.
Cela dit, je ne vois pas l'intérêt de déterrer un sujet vieux de $11$ ans pour dire ça.

Prof Pan.0 · December 2012

Je fourni juste un contre-exemple. Si ça marche en chimie, je veux bien mais pourquoi? Je ne pense pas que toutes les courbes de dosages soient symétriques par rapport au point d'équivalence. Je pense par exemple aux di-acides.

méthode des tangentes

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