Angles sans rapporteur
dans Les-mathématiques
Bonjour à tous
Puisque l’heure est aux anniversaires , pour ma première participation à ce forum , après une brève intervention dans un problème de fourmis , j’avais proposé un exercice qui me semblait original mais qui n’avait pas obtenu le succès escompté . Je vous le repropose donc sous une forme légèrement différente en espérant susciter davantage l’intérêt .
On veut tracer un angle $xÔy \approx 37°$ sans rapporteur ni trigonométrie .
Soit O un point d’une droite x’x . On place le point A sur [Ox) tel que OA = 9 cm et B sur la perpendiculaire en O à x’x tel que OB = 15 cm . On note C le demi-cercle de centre O passant par A contenu dans le demi-plan de frontière x’x ne contenant pas B .
On construit ensuite le point M de [AO) tel que AM = 37 mm .
La droite (BM) coupe alors C en P et à un demi-degré près : $AÔP \approx 37°$.
La construction reste valable pour tout angle $0° \leq xÔy \leq 180°$ .
C'est-à-dire qu’au demi-degré ou au demi-millimètre près on a : $AM \approx AÔP$ .
Si quelqu’un se sent d’humeur à justifier ce résultat surprenant …
Amicalement
Domi
Puisque l’heure est aux anniversaires , pour ma première participation à ce forum , après une brève intervention dans un problème de fourmis , j’avais proposé un exercice qui me semblait original mais qui n’avait pas obtenu le succès escompté . Je vous le repropose donc sous une forme légèrement différente en espérant susciter davantage l’intérêt .
On veut tracer un angle $xÔy \approx 37°$ sans rapporteur ni trigonométrie .
Soit O un point d’une droite x’x . On place le point A sur [Ox) tel que OA = 9 cm et B sur la perpendiculaire en O à x’x tel que OB = 15 cm . On note C le demi-cercle de centre O passant par A contenu dans le demi-plan de frontière x’x ne contenant pas B .
On construit ensuite le point M de [AO) tel que AM = 37 mm .
La droite (BM) coupe alors C en P et à un demi-degré près : $AÔP \approx 37°$.
La construction reste valable pour tout angle $0° \leq xÔy \leq 180°$ .
C'est-à-dire qu’au demi-degré ou au demi-millimètre près on a : $AM \approx AÔP$ .
Si quelqu’un se sent d’humeur à justifier ce résultat surprenant …
Amicalement
Domi
Cette discussion a été fermée.
Réponses
sans vouloir interférer avec la spécifiquement posée par Domi, je vous signale un article : "Tracé d'un angle quelconque à la règle et au compas", publié dans la revue Quadrature n°52, p.4, avril 2004.
Et bon anniversaire; ça fait plaisir de savoir depuis quand un tel à trouvé ce site.
Pour en venir à ton problème, en notant $\alpha$ l'angle, on a assez rapidement:
$$AM=9-\frac{45 cos\alpha}{5+3 sin\alpha}$$
On devrait donc justifier sur $[0;\pi]$:
$$\frac{45 cos\alpha}{5+3 sin\alpha}\sim 9-\frac{18}{\pi}\alpha$$
Ce qui pour une fonction $2\pi$-périodique est quand même remarquable ! En tout cas le graphique le confirme.
C'est une belle construction que tu nous a proposé, et facile à réaliser en pratique.
Marc
Et merci pour l'anniversaire mais il va falloir que l'on se calme avec ça , on va finir par passer pour des débiles .
Je suppose que tu a été surpris comme moi de découvrir que :
$$\frac{45cos\alpha}{5+3sin\alpha}$$
est pratiquement une fonction affine sur [0;2$\pi$] . Je ne vois absolument pas d'où cela peut venir .
Le reste des calculs n'est pas difficile , c'est une simple étude de fonction .
Amicalement
Domi
Tu dis :
"Je ne vois absolument pas d'où cela peut venir ."
La raison est peut-être la faible variation de la fonction dérivée ?
cordialement
Bien sûr , faibles variations de la dérivée . Mais cela reste une constatation . Il n'y a sûrement pas de raison profonde mais le choix des coefficient de cette fonction ne sont pas choisi au hazard . D'ailleurs dans le texte qui m'a inspiré la construction , les valeurs étaient bien plus compliquées et qui plus est bien moins performantes . C'est en voulant comprendre le pourquoi du comment que j'ai choisi ces valeurs 15 cm et 9 cm . D'alleurs , ce ne sont pas les meilleures possibles mais la précision gagnée en choisissant d'autres valeurs ne compense pas ( à mon avis ) le côté mystérieux qu'apportent ses deux entiers basiques 9 et 15 .
Amicalement
Domi
15/9 n'est pas très éloigné de PI/2 et en prenant des entiers plus grands on peut s'approcher un peu plus près de cette valeur.
Sur un cercle de rayon 57 mm , un arc intercepté par un angle de 1° a une longueur environ égale à 57mm.
NB: Je suis arrivé sur cette page via le lien proposé par un membre du forum suivant :
<http://bacamaths.net/phpbb/viewforum.php?f=1>
le sujet est ici :
<http://bacamaths.net/phpbb/viewtopic.php?t=2713>
Amicalement ,
Gato.
La fonction dérivée de $\frac{45cosx}{5+3sinx}$ se comporte comme
$\frac{5sinx+3}{(5+3sinx)^2}$
Si l'on considère alors la fonction $\frac{asinx+b}{(a+bsinx)^2}$ on peut essayer de la majorer par $\epsilon$
on écrit alors : $\frac{aX+b}{(a+bX)^2}0$
vérifiée quelquesoit X si le discriminant est négatif soit
$a^2+4b\epsilon(b^2-a^2)
On peut démystifier un peu cette fonction, c'est $$\frac{cos\alpha}{1+\frac{3}{5}sin\alpha}$$ qui est presque affine sur [0;$\pi$] !
$$f(\alpha) = 90.(1-\frac{2\alpha}{\pi} - \frac{5.\cos \alpha}{5+3.sin\alpha})$$
Les positions du point P correspondants aux angles $\frac{\pi}{2} + \alpha$ et $\frac{\pi}{2} - \alpha$ sont symétriques par rapport à l'axe (OB) donc : $f(\frac{\pi}{2}+\alpha) = -f(\frac{\pi}{2} - \alpha)$
Il suffit d'étudier la fonction $f$ sur $[0;\frac{\pi}{2}]$ .
Sa dérivée :
$$f'(\alpha) ) = 90.\left[\frac{25.\sin \alpha + 15}{(5+3.\sin \alpha)^2} - \frac{2}{\pi}\right]$$
On a alors l'équivalence :
$$f'(\alpha) > 0 \Leftrightarrow 18.\sin^2\alpha + (60 - 25 \pi).\sin \alpha + ( 50 - 15 \pi) < 0$$
Le discriminant de l'expression précédente :
$$\Delta = 5\pi .(125.\pi - 384 ) > 0$$
Soit alors :
$$\alpha_1 = \arcsin(\frac{25.\pi-60-\sqrt{\Delta}}{36})$$ et $$\alpha_2 = \arcsin(\frac{25.\pi-60+\sqrt{\Delta}}{36})$$
Alors $$f'(\alpha) > 0 \Leftrightarrow (\sin \alpha - \sin \alpha_1).(\sin \alpha - \sin \alpha_2) < 0$$
Donc $f$ croit sur $[0;\alpha_1]$ décroit sur $[\alpha_1;\alpha_2]$ et croit à nouveau sur $[\alpha_2;\frac{\pi}{2}]$ .
Comme $f(0) = f(\frac{\pi}{2}) = 0$ , $f$ atteint son minimum en $\alpha_1$ et son maximum en $\alpha_2$ .
$f(\alpha_1) \approx -0,27$ et $f(\alpha_2) \approx +0,39$ donc $|f(\alpha)|
Cette méthode était utilisée au moyen âge par les bâtisseurs de cathédrales avec une corde
Amitiés
Je voulais juste ajouter que la distance OB n'est pas de 15 cm mais un peu plus:
aux alentours de 152mm
Amicalement
Dis moi est ce que tu pourais m'aider sa serais trés gentille de ta part, si tu ne veux pas se n'est pas grave merci d'avance ...
J'ai un devoir a rendre et une etape me dis : "sans compas et sans raporteur, explique comment construire un angle de 60"
Comment doit je faire ? Merci beaucoup
Bruno