sin x

Denissovitch0
Denissovitch0
dans Les-mathématiques
bonjour,

Pourriez vous m'expliquer d'où vient la limite $(sin x)/x \longrightarrow 1$ quand $x \longrightarrow 0$

J'ai une deuxième question: est ce que que vous pourriez m'indiquer un site pouvant me renseigner (de façon simple) sur les thèmes suivant: transformée de Laplace, gradient, rotationel (je sais que c'est un peu hétéroclite, mais c'est des mots qui je trouve "sonnent bien")

Réponses

  • Greg8
    Greg8
    Quand : $x \longrightarrow 0$
    $$\frac{sin(x)-sin(0)}{x-0} \longrightarrow sin'(0)=cos(0)=1$$
    Bonne soirée.
  • Denissovitch0
    Denissovitch0
    c'est quand même très bête. Merci beaucoup.
  • jean Lismonde0
    jean Lismonde0
    Bonjour

    Il existe une démonstration par encadrement de la limite de sinx / x lorsque x tend vers 0, démonstration que Borde avait rappelée ici même il y a peu et qui ne fait pas appel à la dérivée

    Cordialement
  • bisam
    bisam
    Géométriquement on VOIT que pour 0<x<pi/2, on a sin(x)<=x<=tan(x) donc 1<=x/sin(x)<=1/cos(x).

    On en déduit que x/sin(x) tend vers 1 (et donc sin(x)/x également) lorsque x tend vers 0 par le théorème de limite par encadrement (et par parité).
  • Christian Vassard
    Christian Vassard
    Salut,
    Non je suis désolé, mais je NE VOIS PAS géométriquement que sin x est inférieur ou égal à x lui-même inférieur ou égal à tan x.
    Je suis désolé mais cela n'a rien d'évident que x par exemple soit inférieur ou égal à tan x, je veux dire si l'on raisonne en termes de longueur.
    Quelqu'un peut-il justifier plus avant?
    Merci
    Christian Vassard
  • Richard André-Jeannin2
    Richard André-Jeannin2
    La preuve de Greg, c'est le serpent qui se mord la queue: Pour montrer que sin(x) est dérivable en 0, on utilise le résultat: lim sin(x)/x = 1.
  • GERARD5
    GERARD5
    En fait, l'évidence de Bisam correspond à x >0 et inférieur à Pi/2. La preuve est déja sur le forum:
    <BR>Voir <a href=" http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=204867&t=187067#reply_204867"&gt; http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=204867&t=187067#reply_204867</a><BR&gt;
  • palmade
    palmade
    Ce que bisam "voit", c'est que sur le cercle unité de centre O, avec un point A comme origine des angles, un point M d'angle x et T intersection de la tangente en M avec OA, l'aire du secteur OAM est comprise entre celle du triangle OAM et celle du triangle OMT
    Donc sinx<x<tanx
  • Christian Vassard
    Christian Vassard
    Salut à tous,
    En termes d'aires, c'est "évident", sauf peut-être pour l'aire du secteur circulaire. Les longueurs posent plus de problèmes, car au niveau où on le démontre (lycée), on ne sait pas vraiment ce qu'est la longueur d'une courbe.
    Bonne journée
    Christian Vassard
  • FELIX1
    FELIX1
    Oui mais on peut s'en sortir avec la grosse intuition en disant que l'arc de cercle infinitésimal "devient" un petit segment.
  • Guego0
    Guego0
    RAJ : ça dépend comment on définit le sinus. Si on le voit comme unique solution de $y''+y=0$ qui vérifie $y(0)=0$ et $y'(0)=1$, alors il est *par définition* dérivable...
  • Kuja
    Kuja
    Hors-sujet : Guego, j'ai l'impression que nous habitons vraiment pas loin l'un de l'autre ...
  • Guego0
    Guego0
    Hors-sujet : Euh... c'est possible, où es-tu ?
  • Kuja
    Kuja
    Rue de Créqui (Nous avons le même noeud de raccordement Free !)
  • Guego0
    Guego0
    Ouais, moi, je suis à Villeurbanne à côté de la Doua. Mais comment as-tu vu qu'on était sur le même noeud ?
    A côté de ton pseudo, je ne vois que fbx.proxad.net, ce qui informe peu...
  • Kuja
    Kuja
    Petit privilège des modérateurs : on a accès à l'adresse IP, et la tienne commence par tok69, comme la mienne (c'est le noeud Tonkin).

    Tu es à la Doua donc ? Tu y fais quoi ?
  • Jean-Luc4
    Jean-Luc4
    ben si...

    x en radian, c'est simplement la longueur de l'arc de cercle de rayon 1, pi/2 pour un quart de cercle ;
    sinx, c'est la longueur de la perpendiculaire à l'abscisse passant par le haut d'arc, donc est plus court
    tgx, c'est la longueur de la perpendiculaire à l'abscisse passant par le pied de l'arc et coupant la droite de l'arc, donc est plus long que l'arc
    d'où le fait que sinx < x < tgx lorsque x est en radian et compris entre o et pi/2
    => 1<x/sinx<1/cosx =>x/sinx -> 1 lorsque x -> 0

    non ?
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour Jean-Luc.

    Cinq ans après, tu crois que c'est utile ?
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