Constante d'Euler

Pedro1 · November 2005

Bonjour à tous.

Pourriez-vous me mettre sur la voiepour exprimer la somme de la série de terme génèral:$ (-1)^{n}\frac{ln(n)}{n} $ en fonction de la constante $ \gamma $ d'Euler.

Merci d'avance pour vos suggestions.

Pedro.

tounet · November 2005

sépare en terme pair et impair pour faire
1/ disparaître les ln (enfin il restera un ln(2) ...)
2/ apparaître des sommes partielles de la série harmonique et utilise le développement asymptotique
$$H_{n}=1+1/2+..1/n=ln(n)+\gamma+o(1)$$

jean Lismonde0 · November 2005

bonjour

le résultat est (avec C constante d'Euler) :

ln2/2 - ln3/3 + ln4/4 - ln5/5 +.......=(C - ln2/2).ln2

on obtient ce résultat en dérivant par rapport à x la relation fonctionnelle de Riemann existant entre Zéta alternée de variable 1-x et Zéta alternée de variable x et en faisant x=1

(on tient compte de Z(a1)=ln2 et Gamma'(1)=-C)

on pourrait de même obtenir un résultat semblable avec la série harmonique alternée des nombres impairs:

ln3/3 - ln5/5 + ln7/7 - ln9/9 +.......=(pi/4)[C + ln(pi²/8w²)]

avec C constante d'Euler et w (oméga) constante de la lemniscate

il faut dans ce cas dériver la relation fonctionnelle entre Zéta alternée de base les entiers impairs (de variable x) et Zéta alternée de base les entiers impairs (de variable 1-x)

je signale qu'il existe une autre démonstration directe sans passer par les relations fonctionnelles dues à Riemann

cordialement

f jaclot · November 2005

Jean ,

Peux-tu me mettre sur la voie de la demonstration directe (sans passer par l'equation fonctionnelle) dont tu parles en fin de ton message .
D'avance merci .

fjaclot;

Constante d'Euler

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