Zeta'(0)

f jaclot · November 2005

Bonsoir ,

Je cherche la demonstration la plus courte possible de :

Zeta'(0)= -(1/2).Ln(2Pi)

Il me semble que c'est en derivant la relation entre Eta(x) et Zeta(x) , soit

Eta(x) = (1-2^(1-x)).Zeta(x)

et en sachant ( cf Wallis) que :

Eta'(0) = Sigma pour k=2 a l'inf. de((-1)^k).Ln(k) = Ln(Pi^(1/2))

Qui dit mieux ?

fjaclot;

jean Lismonde0 · December 2005

bonjour

je confirme la valeur de Zéta'(0) = -(1/2).ln(2.pi)

par contre l'autre résultat comporte une erreur en fait :

Eta'(0)=(1/2).ln(pi/2)

résultat que l'on obtient en effet avec la limite de Wallis

je ne connais pas d'autres démonstrations de ces nombres dérivés

bonne journée

f jaclot · December 2005

Merci , Jean . Il y a effectivement une erreur de frappe pour Eta'(0) .

Comment calculer Zeta'(-1) et Zeta'(1) ?

Bonne journee .

fjaclot;

jean Lismonde0 · December 2005

rebonjour

Zéta'(1) n'existe pas puisque 1 est un pôle de Zéta

Zéta'(-1) est déterminé à partir de Eta'(-1) = 1,5215589.....(calculé empiriquement)

les deux à ma connaissance ne s'expriment pas avec les constantes classiques

je signale un résultat déterminé avec Gamma(1/4) et Gamma'(1/4):

Z'(1/2)/Z(1/2)= (1/2)ln(8.pi) + pi/4 + y/2

avec y constante d'Euler

on calcule empiriquement Z(1/2) = -1,460354509.....(à partir de Eta(1/2))

on en déduit Z'(1/2)

cordialement

f jaclot · December 2005

Re-merci :

On a donc : Zeta'(1) = -y1 (cste de Stieltjes)

Zeta'(-1) = 1/12 -Ln(A) (cste de Glaisher)

fjaclot;

f jaclot · December 2005

Erreur à corriger dans mon message précédent : Zeta'(1) = -y1 et non pas Z'/Z. [Correction faite. AD]

Plus généralement : Zeta''''''= (-1)^(''''') . yn .

Merci .

fjaclot;

JulienM · July 2012

Bonjour,

Je cherche à comprendre $\zeta'(0) = -\frac 1 2\ln(2\pi)$

Malgré ce qui a été dit dans ce thread, je ne parviens pas à mes fins.
Je comprends bien la relation $\eta(x) = (1-2^{1-x}).\zeta(x)$, mais je ne comprends pas comment vous passez de Wallis à $\zeta'(0) = -\frac 1 2\ln(2\pi)$

Y a-t-il encore quelqu'un pour m'expliquer après tout ce temps ?!
Merci

[Avec un peu de $\LaTeX$, c'est plus attrayant

AD]

jean lismonde · July 2012

bonsoir

tu pars du quotient infini établi par Wallis: rac(2/pi) = 1/2/3/4/....../n/.....

en passant aux logarithmes il vient: (1/2).ln(2/pi) = - ln2 + ln3 - ln4 + ........(série à convergence explosive)

or Eta'(x) = ln2./2^x - ln3./3^x + ln4./4^x - .........(à partir de la définition de Eta)

et pour x = 0 il vient Eta'(0) = ln2 - ln3 + ln4 -........= (1/2).ln(pi/2)

on sait que Eta'(x) = 2^(1-x).ln2.Z(x) + [1-2^(1-x)].Z'(x)
(par dérivation de la relation fonctionnelle que tu as rappelée toi-même)

pour x = 0 et puisque Z(0) = - 1/2 il vient:

(1/2).ln(pi/2) = -ln2 - Z'(0)

soit Z'(0) = -(1/2).ln(2.pi)

cordialement

JulienM · July 2012

Salut Jean !

Merci beaucoup de ta réponse !

Juste ce n'est pas plutot rac(Pi/2) au début, et non rac(2/Pi) ?

En tous cas je suis arrivé au résultat avec ça !

Par contre je n'ai rien trouvé sur ce quotient infini de Wallis, aurais-tu quelque parts la démonstration de cela ?

JulienM · July 2012

Ah non c'est bon pour l'histoire du Pi/2 2/pi c'est moi qui ai mal lu... C'est le dimanche matin...

Merci encore !

Zeta'(0)

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Bonjour!

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