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Perlinpin · December 2005

Bonjour,

Je voulais savoir comment on pourrait calculer :

$$\int_{0}^{t} exp(-2 W_{s})dW_{s}$$

Où $W_s$ est un MB.

Je pensais appliquer Ito en me disant que c'était une fpncion du mouvement Brownien ... mais en fait Ito sert à rien ici ... ca calcul pas la derivé lol.

Bref j'suis un peu paumé ... dois-je le prendre comme une integrale de Lebesgue en prenant $w=W_s$ ?

Merci par avance

Perlin

Kikilevrai · December 2005

Bonjour Perlinpinpin,

Pour te repondre, il suffit que tu appliques l'integration par parties qui te dit que :

$$d(B_{t}f(t))=f(t)dB_{t}+B_{t}f'(t)dt$$

Et après ça roule tout seul

Amicalement

Kiki

Kikilevrai · December 2005

Petite rectification .... ici on n'a pas une fonction du temps mais une fonction du Bownien. Peut-être que ça marche quand même ?

Ou sinon il y a d'autres formules que je vais rechercher ...

Kiki

Okay1 · December 2005

Sans aucune garantie :

Je pense qu'on peut utiliser la formule d'Itô pour une variable, en posant que l'expression que tu cherches à calculer correspond au terme du 1er ordre.

Je poserais donc $Y_t = \frac{-1}{2}exp(-2W_t)$
et appliquerais Itô la dessus

Ce que tu cherches revient à calculer :
$Y_t - \frac{1}{2}(-2exp(-2W_t))d$

Si qqn confirme ou infirme l'idée...

Kik · December 2005

Salut Okay,

Pourrais tu m'expliquer comment tu calcules l'integrale par Ito ? Car avec ce que tu proposes on calcule le terme dans l'integrale .... (en y reflechissant Ito ca differentie, donc l'integrale "sautera" c'est bien ça ? )

Cordialement

Kiki

Okay1 · December 2005

Pour moi oui, c'est exactement ça que je ferai, pour faire "sauter" l'intégrale comme tu dis !
Ms ce serait mieux que qqn d autre te confirme, car je n'ai pas poursuivi les calculs ...

Kikilevrai · December 2005

En fait je crois qu'il faut considerer la fonction $exp(-2W_t)$ et la differencier et après on recupère le terme en fonction d'autre chose (ici une integrale de lebesgue avec le brownien $W_s$ dedans) mais on ne peut (à mon avis) expliciter correctement et precisement le calcul de l'integrale de depart ...

Enfin pareil si quelqu'un pouvait confirmer lol

Cordialement

Kiki

StOchA · April 2011

waouh je crois rever de quoi vous parlez la! on dirait un truc hyper scientifique ouf impressionnant hihihi jai pas de solution moi mais je vous admire

TheBridge · April 2011

Moi aussi je suis impressionné surtout parce que la question posée par Perlin n'a pas vraiment de sens

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