f(x,y)=f(x)+f(y)/(1+f(x)f(y))
Bonjour les mathématiciens !
Un de vos amis physiciens (prépa PC) a un problème sur un exercice. Voici l'énoncé
Trouver toutes les applications f définies de R vers ]-1;1[ continues en 0
telle que :
Pour tout x, y appartenant à R,
$f(x,y)=f(x)+f(y)/(1+f(x)f(y))$
J'aurai besoin de vos lumières ! (ou d'un dipôle RLC)
Merci
Un de vos amis physiciens (prépa PC) a un problème sur un exercice. Voici l'énoncé
Trouver toutes les applications f définies de R vers ]-1;1[ continues en 0
telle que :
Pour tout x, y appartenant à R,
$f(x,y)=f(x)+f(y)/(1+f(x)f(y))$
J'aurai besoin de vos lumières ! (ou d'un dipôle RLC)
Merci
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
$$\forall (x,y) \in \R^2, f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1+f(x)f(y)}$$
On reconnaît alors l'équation fonctionnelle de la fonction tangente hyperbolique !
Si on pose $g=Argth \circ f$, alors $g$ vérifie :$$\forall (x,y) \in \R^2, th(g(x+y))=\frac{th(g(x))+th(g(y))}{1+th(g(x))th(g(y))}=th(g(x)+g(y))$$
donc $$\forall (x,y) \in \R^2, g(x+y)=g(x)+g(y)$$
Il est alors classique que $g=\lambda Id$, compte-tenu de la continuité en 0 de $f$ et donc de $g$. Par conséquent, $f=th \circ (\lambda Id)$.
j'imagine qu'il faut lire
f(x+y) = [f(x)+f(y)]/[1+f(x)f(y)] et f continues en 0
on a bien sur la solution banale f(x)=0 pour tout x..
les autres solutions sont données par x->th(kx) avec k cte non nulle
( th =sh/ch tangente hyperbolique )
je laisse les amateurs de ce genre d'exo donner une solution!
Oump.
bisam a mangé le morceau!
oump.
j'ai la même équation f(x+y)=(f(x)+f(y))/(1+f(x)f(y) (E) que f vérifie.
on me demande de calculer f(0), en théorie ca devrait aller j'ai trouvé f(0)=0.
on dit que f'(0)=a
et ensuite : en utilisant la définition de la dérivée, exprimer f'(x)en fonction de f(x) et de a.
et ça je n' arrive pas! qui peut m'aider?
merci