norme sur K[X]

Cosmo · December 2005

bonjour, je me demandais si il existait une norme sur K[X] (K= $\R$ ou $\C$ )
qui verifie pour tout P, Q polynomes, on a N(PQ)=N(P)N(Q) .
Je sais deja qu'une telle norme ne peut exister dans Mn(K) (matrices carre d'ordre n) pour des raison d'integrite de l'algebre, par contre il en existe dans certaines algebres integre simple ( $\C$ par exemple avec le module).

zdadezda · December 2005

Lycée Clémenceau, Cosmo ? Autrement, je sèche aussi sur la question...

Olivier Guin · December 2005

Bonsoir,

Si $P=0$, on pose : $N(P)=N(0)=0$.
Sinon, $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+...+a_{n}X^{n}$, avec $n\in\N$, $a_{n}\in K$, $a_{n}\neq 0$.
On pose alors : $N(P)=|a_{n}|$.
Il est facile de voir que $N(.)$ définit bien une norme multiplicative sur $K[X]$.

Amicalement.
Olivier.

irakos5 · December 2005

Non, l'inégalité triangulaire n'est pas vérifiée.

Jérémy63 · December 2005

mais si... au pire avec des degrés différents, on a tjs |a|<|a|+|b|...

Eric25 · December 2005

Bonsoir,

Il ne doit pas en exister. J'esquisse l'argument sur $\C$.
On suppose que $N$ existe.
On a $N(1)=N(1)^2$ donc $N(1)=1$.
Je note $f(z)=N(X-z)$. $f$ est convexe continue
et tend vers $\infty$ en $\infty$
donc $f$ admet un minimum strict. Je fixe $x$ tel que $r=f(x)>0$ soit minimum.

Pour $t0$. On prend les normes
$ r^n-t^n\leq \prod_{z^n=1} f(x-tz) \leq r^n+t^n$
on prend la puissance $1/n$, passe au log et on fait tendre $n$ vers l infini
$\ln r \leq \int_0^1 \ln f(x-te^{i2\pi\theta}) d \leq \ln r$
comme f est continue et supposée minimimale en $x$, on obtient que
$f(x-te^{i2\pi\theta}) =r$. Autrement dit $f$ est constante sur toute boule de rayon $r$ autour d'un minimum. Cela implique que $f$ est constante, une contradiction !

Eric

Cosmo · December 2005

le probleme vient justement du cas ou les degres sont les meme:
P=X+4 et Q=-X
N(P)=1
N(Q)=1
N(P+Q)=4 et on a pas N(P+Q) < N(P) + N(Q)

Intuitivement, j'aurais tendance a penser qu'il n'en existe pas, mais de la a le montrer... ce qu'il y a de sur c'est que si il n'en existe pas, la contradiction viendra de l'inegalite triangulaire

Cosmo · December 2005

Hum, desole Eric mais je n'ai pas compris la fin de ta demonstration, f est constante sur la boule de centre x, de rayon r ok, mais comment conclus-tu sur sa constance partout, tu n'a aucun moyen de controler r...

Eric25 · December 2005

$r$ est le minimum (fixé). J ai montre que $r$ est constante sur une boule de centre un minimum rayon $r$. Donc si $E=\{x\in \C | f(x)=r\}$,
$E$ est ouvert et fermé (par définition)... Si c'est trop abstrait dessine $E$, tu comprendras !
Je vous laisse faire le cas de $\R$.

Eric

Marsu · December 2005

moi je crois que y'en a une

pour un polynome $P(X)=\sum_{k=0}^n a_k \cdot X^k$

si on prend la norme : $sup |a_k|$

On voit aisement que c'est une norme, et de plus elle est multiplicative

oumpapah2 · December 2005

Bonjour

bien sur que non

N(1+X)=1 ;N(2+3X)=3 ; N([1+X)(2+3X)]=N(2+5X+3X²)=5..

Oump

N. · December 2005

Bonjour, question intéressante. Il faut savori si on veut juste montrer l'existence d'une norme multiplicative (une valeur absolue quoi) ou si on veut en plus qu'elle prolonge la valeur absolue du corps de base.

Sur un anneau (intègre) on peut toujours définir la valeur absolue triviale (0 pour 0, 1 pour tout autre élément) ....

Voici quelques éléments pour montrer qu'il n'en existe pas qui prolongent la valeur absolue de $\Bbb C$. Le corps est algébriquement clos, donc toute extension est transcendante. S'il existait une valeur absolue sur une telle extension, et qu'on complétait pour cette va, on obtiendrait une algèbre de Banach qui serait un corps (le complété d'un corps pour une va reste un corps). Donc tout élément transcendant sur $\Bbb C$ serait inversible, donc son spectre serait vide. Contradiction avec la non vacuité du spectre de tout élément d'une algèbre de Banach sur $\Bbb C$ (Gelfan-Mazur).

Tout cecei s'applique à $\Bbb C(X)$ (fractions rationnelles, donc il n'existe pas de va sur $\Bbb C(X)$ prolongeant celle de $\Bbb C$. S'il en existait sur $\Bbb C[X]$, il serait alors facile de les prolonger à $\Bbb C(X)$, donc il n'en existe pas ....

voilà ....

N. · December 2005

Par contre sur $\Bbb C_p[X]$ celle citée par Marsu marche (et s'appelle norme de Gauss) ...

girdav · November 2012

L'article d'Urbanik et Wright permet de voir qu'une telle norme n'existe pas.

norme sur K[X]

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