trigonalisation

babette1 · December 2005

bonjour a tous. J'aimerais simplement connaitre la methode de trigonalisation d'une matrice. Merci d'avance et bonnes fetes a tous.

Sylvain · December 2005

Moi aussi ça m'intéresse car j'en ai déjà entendu parler mais je ne sais toujours pas comment ça se fait ni à quoi ça sert.

geo · December 2005

on utilise les sous espaces caractéristiques $ker((f-\lambda Id)^{\alpha})$

on remarque qu'ils sont stables pas $f$ et donnent une base dans laquelle la matrice est trigonale

pour plus d'info, un livre trés clair sur le sujet :le Griffone

ps: desolé j'ai oublié de cocher la case

geo · December 2005

de souvenir les sous espaces caractéristiques sont en somme directe (cf: th des noyaux) il faut donc chercher une base de chaque sous espace ;

jean Lismonde0 · December 2005

bonjour

lorsque les valeurs propres d'une matrice A sont multiples (d'ordre 2, 3 ou plus) on ne peut diagonaliser A, il faut alors trigonaliser pour trouver les puissances entières de A, le procédé est lourd mais permet d'élever donc une matrice carrée à une puissance entière

en fait je conseille à mes élèves dans ce cas la méthode des suites numériques après utilisation du théorème de Cayley-Hamilton (la matrice obéit à son propre polynôme caractéristique)

exemple avec une matrice carrée 2x2 de valeur propre unique r

le polynôme caractéristique est du type x²-ax-b=0 de racine unique r

(et donc a²+4b=0) et donc A²-aA-bI=0 (équation matricielle)

on multiplie par A^(n-2) chaque terme de l'équation matricielle il vient la suite récurrente matricielle:

A^n - a.A^(n-1) - b.A^(n-2) = 0

qui admet comme équation caractéristique celle déjà trouvée d'où:

A^n = r^n (c.n + d)

c et d sont des coefficients matriciels de format 2x2 que l'on détermine en faisant n=0 et n=1 c'est-à-dire avec I et A

ce procédé est plus rapide que la trigonalisation et s'étend au cas 3x3 avec éventuellement une valeur propre triple

bon réveillon

N.E.Trang · January 2006

Si ça t'intéresse, cherche un livre de prépa 2ème année.

Mais comme on te l'a déjà dit, il faut que tu cherche les valeurs propres a (soit les solutions du polynôme det(X*Id-A) si t'arrive à le scinder simplement, A étant ta matrice). Après cela tu auras: D=P^-1AP où D sera une matrice diagonale et sur sa diagonale les racines que t'as trouvé. Pour trouver P il te suffit de trouver les vecteurs propres X (qui vont correspondre aux colonnes de ta matrice) en posant l'égalité: AX=aX

Un petit exemple pour illustrer:
Soit A une matrice dont la première colonne est (3,-1) et la deuxième (1,-1)
On trouve les valeurs propre en résolvant X^2-2X-2 et on trouve a=1+(3^1/2) et b=1-(3^1/2)
En résolvant AX=aX et AY=bX on trouve X=(1,(3^1/2)-2) (c'est une colonne) et Y=(1,-(3^1/2)-2
Tu auras donc que D a pour colonne (a,0) et (0,b) et que P aura pour colonne X et Y.

S'il y a une erreur, corrigez-moi, je n'ai pas encore très bien digéré tout ça et donc il risque d'il y avoir quelques erreurs où manque de rigueur.

N.E.Trang · January 2006

oups, ça c'est la méthode de diagonalisation et non de triagonalisation (qui reste ceci dit assez proche).

babette1 · January 2006

merci a tous pour ces indications. Je pense avoir compris, reste a mettre en application. Bonne annee a tous!

Tsss · January 2006

Juste pour revenir sur les propos de Jean Lismonde.
Ce n'est par parce que les valeurs propres sont multiples qu'on ne peut pas diagonaliser la matrice (regarder n'importe quel homothétie).
Dans ce cas (si elle est diagonalisable), on trouve une base des sous-espace propre et on la diagonalise ds cette base (les bases peuvent contenir plusieurs éléments !).

tchana · February 2012

bonsoir,
j'aimerai que vous me montrez la méthode de triagonalisation des matrices.
merci d'avance

Eric Chopin · February 2012

C'est pas ce qui manque sur le net en tapant dans google:

trigonalisation filetype:pdf

Ca donne par exemple

http://epsilon.2000.free.fr/Csup/trig.pdf

eric

trigonalisation

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