Récurrence forte

Toute récurrence forte peut être formulée comme une récurrence simple : il suffit de démontrer par récurrence (simple) que la propriété Q(n) est vraie où Q(n) : "Les propriétés P(0), P(1),...,P(n) sont vraies"

Donc tu ne trouveras aucun exemple qu'on peut traiter par récurrence forte, mais pas par récurrence simple...

Guego a raison pourtant : toute récurrence forte est une récurrence faible, il suffit de changer l'assertion...c'est juste une question de présentation et de rédaction.

Guégo et GLaG, vous avez bien sûr raison du point de vue strictement logique ; on change l'assertion et la récurrence forte est affaiblie. C'est d'ailleurs comme ça qu'on démontre que le principe de récurrence forte est valide, en se ramenant au principe de récurrence habituel. Il n'empêche que, le mathématicien n'étant pas une machine, dans certaines situations spécifiques on se dit "tiens, il y a une récurrence forte là-dessous".


Un exemple où la récurrence forte est naturelle, la résolution d'équations différentielles non-linéaires par développement en série entière. On a une équa diff $(E)$, on suppose (c'est l'analyse) qu'elle admet une solution DSE au voisinage de $0$ par exemple donc de la forme $f(x)=\sum a_n x^n$ avec un rayon de convergence non nul. On exprime alors les dérivées de $f$ sous forme de série entière et on réinjecte tout ça dans $(E)$, on secoue, et on obtient une relation de récurrence sur les $a_n$, idéalement qui nous permet de définir $a_n$ par récurrence (c'est la synthèse). Il reste à vérifier que la série $\sum a_n x^n$ a effectivement un rayon de convergence non nul, et c'est là qu'on fait une récurrence forte. Elle est forte parce que si l'équation est non-linéaire il y a des chances que la relation définissant $a_n$ fasse intervenir tous les $a_k$ pour $k \leq n$.


C'est un procédé classique donc je pense que quelqu'un qui passe par là pourra nous donner un exemple d'équa diff pour laquelle ça fonctionne.