Polygone constructibles
Bonsoir,
Voici un théorème généralisant l'exercice que j'ai donné précédemment ("Règle, compas et ..."):
Un $n$-gone régulier est constructible à la règle, au compas et au trisecteur (permettant de construire le tiers d'un angle déjà construit) si et seulement si les seuls facteurs premiers de $\phi (n)$ sont $2$ ou/et $3$.
J'ai une solution pour mon exo de départ mais pas pour ce théorème ...
@+
Voici un théorème généralisant l'exercice que j'ai donné précédemment ("Règle, compas et ..."):
Un $n$-gone régulier est constructible à la règle, au compas et au trisecteur (permettant de construire le tiers d'un angle déjà construit) si et seulement si les seuls facteurs premiers de $\phi (n)$ sont $2$ ou/et $3$.
J'ai une solution pour mon exo de départ mais pas pour ce théorème ...
@+
Réponses
-
Trisecter un angle revient a autoriser des extensions de degre 3 si je ne m'abuse.
Une extension cyclotomique $\mathbf{Q}(\zeta)$ associee a une racine primitive n-ieme de l'unite $\zeta$ est de degre $\phi(n)$ et son groupe de Galois est isomorphe a $(\mathbf{Z} / n \mathbf{Z})^{\times}$ (groupe des inversibles pour la multiplication).
Ce groupe etant abelien, tu pourras toujours le resoudre par des groupes cycliques d'ordre 2 et 3 des lors que son cardinal est $2^m 3^k$. Reciproquement effectuer la construction avec regle, compas, et trisecteur, signifie que ce groupe est resoluble par facteurs isomorphes a $\mathbf{F}_2$ ou $\mathbf{F}_3$ (d'apres ma premiere remarque). Donc son ordre s'ecrit $2^m 3^k$.
Ca fait longtemps que je n'ai pas fait de theorie de Galois (en particulier des polygones constructibles) alors faut verifier ce que je dis. -
Par contre il serait interessant de savoir si il y a un analogue du theoreme de Wantzel dans ce cas, ce qui reviendrait a se demander si un groupe de Galois d'ordre $2^m 3^k$ est resoluble. Meme si c'est faux ce n'est pas grave pour ta question parce que le groupe dont on part est {\bf{abelien}}. -
Autre remarque: dire que $\phi(n)$ s'ecrit $2^m$ est equivalent a $n$ egal au produit d'une puissance de 2 par un produit de nombres de Fermat premiers. Mais si $\phi(n)$ s'ecrit $2^m 3^k$, que peut on dire de $n$? -
Quels sont les 10 premiers polygones constructibles svp?
-
Ta question est mal posée.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres