prolongement de la dérivée

Bonjour.

J'aimerai une petite confirmation, je me suis déjà pris les pieds dans le tapis :

Soit $f$ une fonction de $I$ dans R, et $a$ un élément de $I$.

1. Si $f$ est dérivable sur $I-\{a\}$, et si $f'$ a une limite infinie en $a$,
alors $f$ n'est pas dérivable en $a$ (mais la courbe présente une tangente verticale).

2. Si $f$ est dérivable sur $I-\{a\}$, et si $f'$ a une limite finie $l$ en $a$, et si f est continue en $a$,
alors $f$ est dérivable en $a$, de dérivé $l$.
(et si $f$ n'est pas continue en $a$, c'est vraiment pas de chance, le prolongeur par continuité a mal fait son boulot !)

3. Si $f$ est dérivable sur $I-\{a\}$, et si $f'$ n'a pas de limite en $a$, on ne peut rien dire de la dérivabilité de $f$ en $a$.

Ces énoncés sont-ils corrects ?

Merci de vos avis.

1. C'est faux si $f$ n'est pas continue en $a$ (prendre $f(x) = 1/x$ si $x\neq 0$ et $f(0) = 0$). Mais vrai si elle est continue en $a$.

2. C'est vrai : c'est un théorème qui s'appelle le théorème limite de la dérivée (TLD pour les intimes), et qui est une conséquence du théorème des accroissements finis.
Remarque : le 1. avec la continuité en $a$ peut alors être vu comme un "cas limite" du TLD.

3. C'est vrai : $f$ peut être dérivable comme ne pas l'être. (prendre $f(x) = x^2 sin(1/x)$, et $f(x) = x sin(1/x)$, avec dans les 2 cas $f(0) = 0$).