prolongement de la dérivée

jp8 · January 2006

Bonjour.

J'aimerai une petite confirmation, je me suis déjà pris les pieds dans le tapis :

Soit $f$ une fonction de $I$ dans R, et $a$ un élément de $I$.

1. Si $f$ est dérivable sur $I-\{a\}$, et si $f'$ a une limite infinie en $a$,
alors $f$ n'est pas dérivable en $a$ (mais la courbe présente une tangente verticale).

2. Si $f$ est dérivable sur $I-\{a\}$, et si $f'$ a une limite finie $l$ en $a$, et si f est continue en $a$,
alors $f$ est dérivable en $a$, de dérivé $l$.
(et si $f$ n'est pas continue en $a$, c'est vraiment pas de chance, le prolongeur par continuité a mal fait son boulot !)

3. Si $f$ est dérivable sur $I-\{a\}$, et si $f'$ n'a pas de limite en $a$, on ne peut rien dire de la dérivabilité de $f$ en $a$.

Ces énoncés sont-ils corrects ?

Merci de vos avis.

ryo0 · January 2006

La 1. me parait tout a fait raisonnable

Pour la 2. a mon avis le cas du prolongement non continue ne peut pas se produire. En effet f' admet une limite finie en a donc f derivable sur I (le donc me pose un probleme en l'ecrivant je me rend compte) mais apres j'avais dans l'idee d'appliquer le theoreme des accroissements finis entre x et a puis de faire tendre x vers a, le f'(c) etant fini f(x) tendrait vers f(a)

Pour la 3. j'aurais dit que dans ton cas f n'etait pas derivable en a

Mais ceci dit je ne suis pas du tout sur de ce que j'avance

Guego0 · January 2006

1. C'est faux si $f$ n'est pas continue en $a$ (prendre $f(x) = 1/x$ si $x\neq 0$ et $f(0) = 0$). Mais vrai si elle est continue en $a$.

2. C'est vrai : c'est un théorème qui s'appelle le théorème limite de la dérivée (TLD pour les intimes), et qui est une conséquence du théorème des accroissements finis.
Remarque : le 1. avec la continuité en $a$ peut alors être vu comme un "cas limite" du TLD.

3. C'est vrai : $f$ peut être dérivable comme ne pas l'être. (prendre $f(x) = x^2 sin(1/x)$, et $f(x) = x sin(1/x)$, avec dans les 2 cas $f(0) = 0$).

GERARD5 · January 2006

Attention pour le 1. Le cas de f(x) = 1/x et f(0) = 0 montre qu'il n'y a pas toujours asymptote verticale.
En fait, dès le départ, la continuité de f en a semble une hypothèse assez raisonnable, puisqu'on veut parler de dérivabilité de f en a (sinon, en changeant la valeur de f en a on modifie la conclusion sans changer les hypothèses).

Cordialement

jp8 · January 2006

Je vous remercie pour vos réponses.
Il est vrai que pour s'interesser à la dérivabilité, on peut commencer par s'assurer que le fonction est continue (mais on est tellement habitué à dire : continue donc dérivable).
Seul le cas 3 est un "piège", pas de conclusion.
Merci encore pour ces exemples et ces commentaires.

GERARD5 · January 2006

"mais on est tellement habitué à dire : continue donc dérivable"
J'espère que c'est un lapsus !

En tout cas, pour la continuité en un point limite, la question n'est pas triviale dans certains cas intéressants (comme l'usage de exp(-1/x²) pour ses dérivées toutes nulles en 0).

Cordialement

jp8 · January 2006

Oui c'est un lapsus (je voulais dire continue car dérivable).
Oups.

prolongement de la dérivée

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