Somme de deux carrés

I El Hage · March 2001

Je suis à la recherche d'un démonstration simple du fait qu'un nombre premier p est la somme des carrés de deux entiers si, et seulement si il est congru à 1 modulo 4.

Merci pour la personne qui m'aidera.

Bra

Ivan Nourdin · March 2001

<HTML>Il existe plusieurs demonstrations de ce resultat.
Voici quelques references :
- Daniel Perrin, Cours d'algebre, Ellipses
- Patrice Tauvel, Mathematiques generales pour l'agregation, Masson (jolie demonstration utilisant la theorie des reseaux)
- Bruno Deschamps, Problemes d'arithmetiques des corps et de theorie de Galois, Hermann
Bon courage !
Amicalement,
Ivan Nourdin
-- retrouvez-moi sur http://agregmaths.multimania.com --

matmat0 · March 2001

<HTML>voici une méthode qui reste assez élémentaire ( petit théorème de Fermat c'est à dire Bezout )

démonstration du sens vraiment difficile : si p est premier et congrus à 1 modulo 4 alors p est somme de deux carrés :

1ère étape : -1 est un carré modulo p

on pose A = { x entre 1 et p-1 tel que x^[(p-1)/2] -1 divisible par p }
et B = { x entre 1 et p-1 tel que x soit un carré modulo p }
1) A a au plus (p-1)/2 valeurs car un polynôme de degré n a au plus n racines
2) B inclus dans A d'après le petit théorème de Fermat
3) B a (p-1)/2 éléments ( x et -x ont le même carré )

j'ai abrégé cette partie de la démonstration car elle se trouve assez facilement dans les livres

2ème étape : lemme ( démonstration due à Fermat )

lemme : si N = a^2+ b^2 et si n = u^2 + v^2 est un diviseur premier de N alors N/n est une somme de deux carrés :

Nn = (au+bv)^2 +(av -bu)^2 = ( au-bv)^2 + (av+bu)^2
montrons que soit av-bu soit av+bu est divisible par n :
(av-bu)(av+bu) = a^2 v^2 - b^2 u^2 = N v^2 -b^2 n divisible par n
or n est premier donc n divise l'un des deux facteurs
Par exemple n divise av-bu :
alors n divise au+bv et N/n = [ (au+bv)/n ]^2 + [ (av-bu)/n ]^2 est une somme de deux carrés .

3ème étape : descente infinie

soit p premier congru à 1 modulo 4
d'après 1ère étape il existe x entiers tel que x^2 + 1 = pA
on peut supposer A compris entre 1 et p-1
supposons que p ne soit pas somme de deux carrés.
Si on suppose de plus que tous les facteurs premiers de A sont somme de deux carrés alors en appliquant le lemme autant de fois qu'il est nécessaire( A/d1; A/d1*d2 ... ) , on aboutit à p est somme de deux carrés : absurde
Donc A possède un facteur premier n strictement plus petit que p qui n'est pas somme de deux carrés
on construit aisni une suite strictement décroissante de nombres premiers ( positifs ) ce qui est absurde .
donc p est somme de deux carrés .

remarque : on peut éviter le raisonnement par descente infinie en choisissant le plus petit nombre premier congru à 1 modulo 4 qui ne soit pas somme de deux carrés

remarque2 : j'ai écrit un peu vite et comme la démonstration est longue je suis passé un peu vite sur certains raisonnements, si tu as des questions n'hésite pas !

matmat0 · March 2001

<HTML>dans la première étape il manque la fin :

donc A=B ( l'un est inclus dans l'autre et il a au moins autant d'éléments )
or -1 appartient à A ( (p -1)/2 est pair ) donc à B et - 1 est bien un carré modulo p

Somme de deux carrés

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