Question élémentaire

Pour les ouverts, à mon avis ils ont dû commencer à s'y intéresser quand ils ont commencé à bidouiller des suites de Cauchy. Après, sur le pourquoi, je ne sais pas s'il y a vraiment une réponse, vu que c'est le concept d'ouvert qui définit la topologie, donc une topologie est forcement définie par les ouverts. Disons que comme toute branche des maths, son but est d'isoler une propriété structurelle d'un ensemble, et de trouver des fonctions "qui vont bien" ie qui conservent cette structure, pour pouvoir l'étudier. L'idée est toujours de mettre en lumière une ou des propriétés ( ici convergence de suite, présence de "trou" connexité"… ) en faisant "disparaître" les autres par des relations d'équivalence. Et tout ça passe par les ouverts. D'où la célèbre phrase : "un topologiste ne sait pas faire la différence entre un donut's et une tasse à café"...

Je ne suis pas clair, hein ??? :-)

Définir une topologie par les ouverts est le plus fréquent,
mais on peut aussi le faire par les fermés (passer au complémentaire tous les axiomes avec les ouverts) ou par les voisinages. Un ouvert est ensuite défini comme étant voisinage de chacun de ces points.
L'Atlas des mathématiques illustre ceci très bien

Salut,

Pour compléter le message de TV : c'est comme ça que ça se passe pour les fonctions réelles de la variables réelle. C'est celles qu'on connaît le mieux alors on "transpose" ça à toutes les applications.

Pour les fonctions réelles de la variable réelle, voilà ce qu'il se passe.

Si on appelle voisinage de $x$ toute partie de $\R$ contenant un $]x - \varepsilon , x + \varepsilon[$ (avec $\varepsilon > 0$).
Et si on appelle ouvert une partie qui est voisinage de chacun de ses points alors on a le résultat suivant :

$f \, : \, \R \, \longrightarrow \, \R$ est continue (en tout point) si et seulement si l'image réciproque par $f$ de tout ouvert de $\R$ est un ouvert de $\R$.

Et comme c'est un théorème, ça se démontre. On prouve que "$f$ continue au sens des $\epsilon$" est équivalent à "f continue au sens topologique" (je mets des guillemets avant qu'on ne me saute dessus

Je ne sais pas si historiquement c'est comme ça que sont apparus les ouverts et la topologie mais c'est ainsi que je le vois.

michaël.