Théorème des Résidus

Bonjour,

En cherchant sur le forum, on trouve plusieurs exemples.
En voici deux :

bonjour

je confirme le résultat de JJ concernant

l'intégrale sur R+ de x^a.dx/(x²-x+1) que l'on peut obtenir à partir de

intégrale sur R+ de x^a.(x+1).dx/(x^3+1)

et en appliquant le résultat (avec 0 < y+1 < x) déduit de l'intégrale de Dirichlet :

intégrale sur R+ de t^y.dt/(1+t^x)=(pi/x)/sin[(y+1)pi/x]


cordialement

Oui ! Pour résumer, voilà ce que l'on trouve dans les cours d'analyse complexe L3, pour le calcul de $\displaystyle {\int_{- \infty}^{+ \infty} \frac {P(z)}{Q(z)} \, dz}$, avec $P,Q$ deux polynômes, la restriction de $Q$ à $\R$ étant (bien évidemment) non identiquement nulle, et $\deg Q \geqslant \deg P + 2$. Si on pose $\displaystyle {f(z) = \frac {P(z)}{Q(z)}}$, alors : $$\int_{- \infty}^{+ \infty} \frac {P(z)}{Q(z)} \, dz} = 2 i \pi \sum Rés \left ( f(z) \, ; \, \Im z > 0 \right ).$$ Autre exemple : avec quasiment les même hypothèses, sauf $\deq Q \geqslant \deg P + 1$, on a, pour tout $t \in \R$ : $$\int_{- \infty}^{+ \infty} \frac {P(z)e^{itz}}{Q(z)} \, dz} = 2 i \pi \sum Rés \left ( f(z) \, ; \, \mathcal {H_t} \right ),$$ où $\mathcal {H_t} = \{ z \in \C \, / \, sgn(\Im z) = sgn(t) \}$.

Borde.

Le problème ici est que $Q(0) = 0$, donc la restriction de $Q$ à $\R$ n'est pas identiquement nulle. Il faut alors modifier le contour pour exclure $0$. Plus généralement, tu as : soit $f$ une fonction holomorphe dans le demi-plan $\{ z \in \C \, / \, \Im z \geqslant 0 \}$ possédant un pôle simple à l'origine. Alors on a : $$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)e^{ix} \, dx = 2 i \pi \sum Rés \left ( f(z)e^{iz} \right ) + i \pi Rés \left ( f(z)e^{iz} \, ; \, 0 \right ),$$ la première somme étant étendue aux pôles de $f(z)e^{iz}$ dans le demi-plan $\{ z \in \C \, / \, \Im z > 0 \}$.

Borde.

Bonsoir !
Je m'entraîne en ce moment sur le théorème des résidus.

Je voudrais calculer cette integrale mais j'avoue que sur le calcul des résidus, je coince ...


Pouvez-vous m'aider ?
integrale de 0 a l'infini de 1/(1+x²)]m,m appartenant à N*

@Jaures

Montrons que :
\[
\forall n \in \mathbb{N*},~~ I_n~=~\displaystyle{\int_0^{+\infty} \frac{1}{(1+x^2)^n}\,dx}~=\frac{\pi}{2^{2n-1}}\binom{2n-2}{n-1}
\]
Soit $\displaystyle \forall z \in \mathbb{C}\setminus\lbrace{i,-i}\rbrace,~~f(z) = \frac{1}{(1+z^2)^n} $

Remarquons d'emblée que $f$ est méromorphe sur $\mathbb{C}$, et possède deux pôles, $i$ et $-i$ de multiplicité $n$ à chaque fois.
On considère le lacet $\gamma$ constitué du segment $[-R,R]$ et du demi cercle de rayon $R>1$ contenu dans le demi-plan $\{z\in \mathbb{C}\mid Im(z)>0~\}$, orienté de telle sorte que le seul pôle (en l'occurence $i$) qui figure à l'intérieur le soit avec un indice égal à $1$.
D'après le théorème des résidus ($\mathbb{C}$ étant bien évidemment simplement connexe), nous avons que : \quad $\displaystyle \int_{\gamma} f(z) \,dz~=~2i \pi Res_f(i) $
Or, en découpant le lacet en portions élémentaires, et en utilisant la parité de la fonction réelle $x \mapsto f(x)$, on peut écrire :
\begin{align*}
\int_{\gamma} f(z) \,dz &=\int_{-R}^R f(x) \,dx + \int_{0}^{\pi} \frac{iRe^{i\theta}}{R^2e^{2i\theta}} \,d\theta \\
&= 2I_n + \underbrace{\int_{0}^{\pi} \frac{iRe^{i\theta}}{(R^2e^{2i\theta}+1)^n} \,d\theta }_{J_R}
\end{align*}
D'après le théorème de convergence dominée, on montre rapidement que $J_R \underset{+\infty}{=} o(1)$.
On en déduit donc, en faisant tendre $R$ vers $+\infty$, que : $\displaystyle I_n~=~i\pi Res_f(i)$
Calculons le résidu $Res_f(i)$
$i$ étant un pôle d'ordre $n$ de $f$, son résidu vaut $\dfrac{g^{(n-1)}(i)}{(n-1)!}$ où $g$ est la fonction méromorphe $z \mapsto (z-i)^n f(z)= \dfrac{1}{(z+i)^n}$
Un calcul rapide nous donne que : $\displaystyle Res_f(i)~=~\frac{1}{i 2^{2n-1}}\binom{2n-2}{n-1}$
On en déduit alors le résultat désiré :
\[
I_n~=~\frac{\pi}{2^{2n-1}}\binom{2n-2}{n-1}
\]

Bien cordialement,