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somme des k^3

Envoyé par mlaure

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mlaure

somme des k^3
il y a sept années

bonsoir,
quelqu'un peut il me rappeler comment on calcule la somme des k^3.
soit $\sum_{k=1}^{n}k^3$
je sais que la somme de k termes est n(n+1)/2
mais ça ne m'aide pas...

merci à vous!

Code LaTeX

bonsoir,
quelqu'un peut il me rappeler comment on calcule la somme des k^3.
soit $\sum_{k=1}^{n}k^3$
je sais que la somme de k termes est n(n+1)/2
mais ça ne m'aide pas...

merci à vous!

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Malot Philippe

Re: somme des k^3
il y a sept années

Administrateur
Membre depuis : il y a six années
Messages: 3 549

La somme des cubes des n premiers entiers est égale au carré de la somme des n premiers entiers smiling smiley

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mlaure

Re: somme des k^3
il y a sept années

soit {n(n+1)/2 }^2 ?

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Malot Philippe

Re: somme des k^3
il y a sept années

Administrateur
Membre depuis : il y a six années
Messages: 3 549

Tout à fait !

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mlaure

Re: somme des k^3
il y a sept années

merci beaucoup! ça me bloquait dans un exo...

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said

Re: somme des k^3
il y a sept années

Bonjour

je profite pour rappeler une jolie demonstration geometrique: c'est l'aire d'un carré de coté

à decouper astucieusement en

L d'aire

, ..........,

Code LaTeX

Bonjour

je profite pour rappeler une jolie demonstration geometrique: c'est l'aire d'un carré de coté $1+2+3...........+n$ à decouper astucieusement en $n$ L d'aire $1^3$, ..........,$n^3$

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swolt

Re: somme des k^3
il y a sept années

Membre depuis : il y a six années
Messages: 90

magnifique!

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Re: somme des k^3
il y a sept années

Membre depuis : il y a six années
Messages: 467

Salut,

je rappelle juste l'astuce pour retrouver toutes les sommes de ce type (je ne le fais que dans le cas qui intéresse mlaure)

Ainsi

$\sum_{k=1}^{k=n} ((k+1)^4-k^4)=4.\sum_{k=1}^{k=n} k^3+6.\sum_{k=1}^{k=n} k^2+4.\sum_{k=1}^{k=n} k+\sum_{k=1}^{k=n} 1$

De ce fait,

$4.\sum_{k=1}^{k=n} k^3=(n+1)^4-1-6.\sum_{k=1}^{k=n} k^2-4.\sum_{k=1}^{k=n} k-\sum_{k=1}^{k=n} 1$

Or on sait déjà calculer les sommes présentes dans cette égalité. On en déduit donc $\sum_{k=1}^{k=n} k^3$

@l

Code LaTeX

Salut,

je rappelle juste l'astuce pour retrouver toutes les sommes de ce type (je ne le fais que dans le cas qui intéresse mlaure)

$(n+1)^4=n^4+4n^3+6n^2+4n+1$

Ainsi $(n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1$

$\sum_{k=1}^{k=n} ((k+1)^4-k^4)=4.\sum_{k=1}^{k=n} k^3+6.\sum_{k=1}^{k=n} k^2+4.\sum_{k=1}^{k=n} k+\sum_{k=1}^{k=n} 1$

De ce fait,

$4.\sum_{k=1}^{k=n} k^3=(n+1)^4-1-6.\sum_{k=1}^{k=n} k^2-4.\sum_{k=1}^{k=n} k-\sum_{k=1}^{k=n} 1$

Or on sait déjà calculer les sommes présentes dans cette égalité. On en déduit donc $\sum_{k=1}^{k=n} k^3$

@l

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Alban

Re: somme des k^3
il y a sept années

Membre depuis : il y a six années
Messages: 1 093

Effectivement très jolie cette démonstration géométrique !

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medi

Re: somme des k^3
il y a sept années

n 2 n 2
∑ k je ne la trouve po egale a ∑ k ce ki n est pas normal
k=1 k=0

parsqu en utilisan ta methode

n 3 3 n 3 3
∑ ((1 + k) - k ) n est pas egal a ∑ ((1 + k) - k ) c est normal?
k=1 k=0

cordialemen

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Hors Ligne

Re: somme des k^3
il y a sept années

Je ne comprends pas un mot.
C'est normal ?
Cordialement.

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Yalcin

Re: somme des k^3
il y a sept années

Membre depuis : il y a six années
Messages: 3 110

c'est peut être normal si tu as un niveau < 1èreS

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Hors Ligne

Re: somme des k^3
il y a sept années

Je suis en seconde année de thèse.

Yalcin, toi qui comprends, auras-tu l'obligance de me traduire

<< n 2 n 2
∑ k je ne la trouve po egale a ∑ k ce ki n est pas normal
k=1 k=0
parsqu en utilisan ta methode
n 3 3 n 3 3
∑ ((1 + k) - k ) n est pas egal a ∑ ((1 + k) - k ) c est normal?
k=1 k=0
cordialemen >>

l'auteur n'ayant pas daigné le faire...

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Yalcin

Re: somme des k^3
il y a sept années

Membre depuis : il y a six années
Messages: 3 110

ahhhh ,ok pardon j'avais mal compris

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Hors Ligne

Re: somme des k^3
il y a sept années

y'a pas de mal ^_^

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Evariste Galois

Re: somme des k^3
il y a sept années

Membre depuis : il y a six années
Messages: 289

est ce qu'il y a une formule plus generale par exemple : $\displaystyle{\sum_{i=0}^{n} i^k}$ en fonction de k ?

Code LaTeX

est ce qu'il y a une formule plus generale par exemple : $ \displaystyle{\sum_{i=0}^{n} i^k} $ en fonction de k ?

Eva

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