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somme des k^3

Envoyé par mlaure 
somme des k^3
il y a huit années
<latex> bonsoir,
quelqu'un peut il me rappeler comment on calcule la somme des k^3.
soit $\sum_{k=1}^{n}k^3$
je sais que la somme de k termes est n(n+1)/2
mais ça ne m'aide pas...

merci à vous!
Re: somme des k^3
il y a huit années
avatar
La somme des cubes des n premiers entiers est égale au carré de la somme des n premiers entiers :)
Re: somme des k^3
il y a huit années
soit {n(n+1)/2 }^2 ?
Re: somme des k^3
il y a huit années
avatar
Tout à fait !
Re: somme des k^3
il y a huit années
merci beaucoup! ça me bloquait dans un exo...
said
Re: somme des k^3
il y a huit années
<latex> Bonjour

je profite pour rappeler une jolie demonstration geometrique: c'est l'aire d'un carré de coté $1+2+3...........+n$ à decouper astucieusement en $n$ L d'aire $1^3$, ..........,$n^3$
Re: somme des k^3
il y a huit années
magnifique!
@l
Re: somme des k^3
il y a huit années
<latex> Salut,

je rappelle juste l'astuce pour retrouver toutes les sommes de ce type (je ne le fais que dans le cas qui intéresse mlaure)

$(n+1)^4=n^4+4n^3+6n^2+4n+1$

Ainsi $(n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1$

$\sum_{k=1}^{k=n} ((k+1)^4-k^4)=4.\sum_{k=1}^{k=n} k^3+6.\sum_{k=1}^{k=n} k^2+4.\sum_{k=1}^{k=n} k+\sum_{k=1}^{k=n} 1$

De ce fait,

$4.\sum_{k=1}^{k=n} k^3=(n+1)^4-1-6.\sum_{k=1}^{k=n} k^2-4.\sum_{k=1}^{k=n} k-\sum_{k=1}^{k=n} 1$

Or on sait déjà calculer les sommes présentes dans cette égalité. On en déduit donc $\sum_{k=1}^{k=n} k^3$

@l
Re: somme des k^3
il y a huit années
avatar
Effectivement très jolie cette démonstration géométrique !
Re: somme des k^3
il y a huit années
n 2 n 2 <BR>&amp;#8721; k je ne la trouve po egale a &amp;#8721; k ce ki n est pas normal <BR>k=1 k=0 <BR> <BR> <BR>parsqu en utilisan ta methode <BR> <BR>n 3 3 n 3 3 <BR>&amp;#8721; ((1 + k) - k ) n est pas egal a &amp;#8721; ((1 + k) - k ) c est normal? <BR>k=1 k=0 <BR> <BR> <BR> <BR> <BR>cordialemen<BR>
Hors Ligne
Re: somme des k^3
il y a huit années
Je ne comprends pas un mot.
C'est normal ?
Cordialement.
Re: somme des k^3
il y a huit années
c'est peut être normal si tu as un niveau < 1èreS

Hors Ligne
Re: somme des k^3
il y a huit années
Je suis en seconde année de thèse.

Yalcin, toi qui comprends, auras-tu l'obligance de me traduire

<< n 2 n 2
&#8721; k je ne la trouve po egale a &#8721; k ce ki n est pas normal
k=1 k=0
parsqu en utilisan ta methode
n 3 3 n 3 3
&#8721; ((1 + k) - k ) n est pas egal a &#8721; ((1 + k) - k ) c est normal?
k=1 k=0
cordialemen >>

l'auteur n'ayant pas daigné le faire...
Re: somme des k^3
il y a huit années
ahhhh ,ok pardon j'avais mal compris

Hors Ligne
Re: somme des k^3
il y a huit années
y'a pas de mal ^_^
Re: somme des k^3
il y a huit années
<latex> est ce qu'il y a une formule plus generale par exemple : $ \displaystyle{\sum_{i=0}^{n} i^k} $ en fonction de k ?

Eva
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