somme des k^3

mlaure · February 2006

bonsoir,
quelqu'un peut il me rappeler comment on calcule la somme des k^3.
soit $\sum_{k=1}^{n}k^3$
je sais que la somme de k termes est n(n+1)/2
mais ça ne m'aide pas...

merci à vous!

Philippe Malot · February 2006

La somme des cubes des n premiers entiers est égale au carré de la somme des n premiers entiers

mlaure · February 2006

soit {n(n+1)/2 }^2 ?

Philippe Malot · February 2006

Tout à fait !

mlaure · February 2006

merci beaucoup! ça me bloquait dans un exo...

Saïd7 · February 2006

Bonjour

je profite pour rappeler une jolie demonstration geometrique: c'est l'aire d'un carré de coté $1+2+3...........+n$ à decouper astucieusement en $n$ L d'aire $1^3$, ..........,$n^3$

swolt · February 2006

magnifique!

@l · February 2006

Salut,

je rappelle juste l'astuce pour retrouver toutes les sommes de ce type (je ne le fais que dans le cas qui intéresse mlaure)

$(n+1)^4=n^4+4n^3+6n^2+4n+1$

Ainsi $(n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1$

$\sum_{k=1}^{k=n} ((k+1)^4-k^4)=4.\sum_{k=1}^{k=n} k^3+6.\sum_{k=1}^{k=n} k^2+4.\sum_{k=1}^{k=n} k+\sum_{k=1}^{k=n} 1$

De ce fait,

$4.\sum_{k=1}^{k=n} k^3=(n+1)^4-1-6.\sum_{k=1}^{k=n} k^2-4.\sum_{k=1}^{k=n} k-\sum_{k=1}^{k=n} 1$

Or on sait déjà calculer les sommes présentes dans cette égalité. On en déduit donc $\sum_{k=1}^{k=n} k^3$

@l

Alban · February 2006

Effectivement très jolie cette démonstration géométrique !

medi · March 2006

n 2 n 2
 ∑ k je ne la trouve po egale a ∑ k ce ki n est pas normal
 k=1 k=0
 
 
 parsqu en utilisan ta methode
 
 n 3 3 n 3 3
 ∑ ((1 + k) - k ) n est pas egal a ∑ ((1 + k) - k ) c est normal?
 k=1 k=0
 
 
 
 
 cordialemen

Hors Ligne · March 2006

Je ne comprends pas un mot.
C'est normal ?
Cordialement.

Yalcin · March 2006

c'est peut être normal si tu as un niveau < 1èreS

Hors Ligne · March 2006

Je suis en seconde année de thèse.

Yalcin, toi qui comprends, auras-tu l'obligance de me traduire

<< n 2 n 2
∑ k je ne la trouve po egale a ∑ k ce ki n est pas normal
k=1 k=0
parsqu en utilisan ta methode
n 3 3 n 3 3
∑ ((1 + k) - k ) n est pas egal a ∑ ((1 + k) - k ) c est normal?
k=1 k=0
cordialemen >>

l'auteur n'ayant pas daigné le faire...

Yalcin · March 2006

ahhhh ,ok pardon j'avais mal compris

Hors Ligne · March 2006

y'a pas de mal ^_^

Evariste Galois · March 2006

est ce qu'il y a une formule plus generale par exemple : $ \displaystyle{\sum_{i=0}^{n} i^k} $ en fonction de k ?

Eva

somme des k^3

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Bonjour!

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