segments de différentes longueurs

Bonjour 7steph.

Ton professeur a demandé, d'après ce que tu écris : "Sur quel segment y a-t-il le plus de points ?" Avec une réponse négative à la clé puisque l'on peut mettre les deux segments en "bijection".

Ce qui semble te perturber c'est que les deux segments n'ont pas la même longueur. Est-ce bien cela ?

Bruno

Je pense que l'exemple de Mireille est excellent, tu as l'exemple des segments, deux segments sont toujours en bijection, vu que tu es en TS, voici une version plus algébrique :

Le segment $[AB]$ est l'ensemble des barycentres de $(A,1 - t)$ et $(B,t)$ avec $0 \leq t \leq 1$ ; donc tout segment géométrique est en bijection avec le segment $[0,1] \subset \R$ ; en composant deux de ces bijection tu mets en bijection le segment $[AB]$ avec n'importe quel segment $[MN]$ de l'espace, plus besoin du parallélisme.

Un grand mathématicien (Kurt Gödel) a, pour les besoins de son travail établi une bijection explicite entre $\N$ et $\N \times \N$ par la formule :
$$f(m,n) = \frac{(m + n)(m + n + 1)}2 + m.$$

Comme je l'ai lu quand j'avais à peu près ton âge, à partir de là, on pourrait se demander si deux ensembles quelconques peuvent être mis en bijection. La réponse est non, par exemple $\N$ et $\R$ ne peuvent pas l'être, il y a plusieurs démonstrations.

Un ensemble dénombrable c'est un ensemble que l'on peut "énumérer", c'est donc un ensemble infini qui peut être mis en bijection avec $\N$, par exemple $\N^2$ voire $\Q$ que l'on peut écrire comme un sous ensemble de $\N^2$. Un ensemble qui ne peut être mis en bijection avec $\N$ est appelé ensemble non dénombrable.

Bruno

Tu viens juste de remarquer qu'il y a différente manières de comparer des ensembles, bien venu au pays des invariants.

Tu en as trouvé deux la longueur et la cardinalité, tu as deux moyen de prouver que deux ensembles sont différents,
1er tu calcules leur cardinal, si tu ne trouve pas la même, beh c'est qu'ils sont différents {0,1}=/={0}
deuxième tu calcules leur longueur, [0 ; 1] est de longueur 1 et [0 ; 2] est de longueur 2 donc ils sont différents. Ca peut paraître débile comme ça, mais c'est super utilisé ... Tu verras plus tard ...

un exemple géometrique va te faire comprendre ce que je veux dire ...

Je trace un triangle dans le plan

je m'interesse seulement au angles , si je deplace mon triangle dans le plan les angles ne vont pas etre change ,j'ai aussi le droit de faire des homothecies , d'une certaine maniere dans le probleme de determination des angles je peux considerer tout les triangle que j'ai obtenu comme egaux vis a vis des angles .

maintenant je m'interesse au angle et au longeur ,
j'ai toujours le droit de deplacer mon triangle mais maintenant j'ai plus le droit de l'agrandir . donc dans le premier cas deux triangles homothetique sont egaux et dans le second il ne le sont pas ,
bref suivant le probleme que je me donne , je peux me permettre de différencier plus ou moins bien les objects.

bref suivant le probleme que je me pose ,je peux distinguer plus ou moins les objects
pâr exemple si je cherche a montrer une relation sur les angles d'un triangle beh je peux me permettre de faire des homothecie et des deplacement ca ne changera rien a la relation qui m'interesse
par contre pour des probleme de longeur ,je ne peux pas faire des homothécie .

bon a quoi ca sert je te donne un exemple :

Disons que j'ai deux triangle dans le plan et je veux savoir si il existe un deplacement (quand je dis deplacement ca veut dire tu prend le triangle et tu le deplaces) qui transforme l'un en l'autre .
J'ai comme hypothese que l'aire du premier et 2 fois plus petite que l'air du second .
beh c'est pas possible pourquoi car un deplacement conserve l'air

un dernier exemple :
imagine un echiquier et des dominos ,un dominos remplit exactement deux cases de l'echiquier ,la question est :on considere l'echiquier privee de la case en haut a gauche et celle en bas a droite ,est il possible de remplir avec les dominos cette echiquier tronqué.
la reponse est non ,pourquoi car un dominos recouvre une case blanche et une case noir et les deux cases que l'on a enlever sont noir
ici l'invariant c'est koi : I=c'est nombre de case blanche restante -nombre de case noir. tu par d'un echiquier tronque comme tu veux avec des dominos dessus que tu ajoutes ou que tu enleves des dominos le nombre I ne change pas (c'est ok ? )

je reprend le probleme , si on peux remplir l'echiquier tronqué et je calcul I ca donne 0(il ne reste plus de case) mais si j'enleve tous les dominos et que je calcul ca donne 30-32=-2 or 0=/=-2 donc la reponse est non !!!

par contre si tu veux comprendre pourquoi pense a un segment comme a un bout d'elastique . tu peux l'etirer sans changer le nombre de point ....
imagine que tu es dans le plan tu peux aussi formee un bout de parabole
tu peux aussi recoller les deux extermites pour forme un cercle ,bref cercle parabole ellipse sont tous en bijection ,
prend le graphe d'une fonction G=((x,f(x)),x app [a,b]} et considere l'aaplication g qui a (x,f(x) associe x alors c'est une bijection du graphe sur [a,b] donc tous les graphe des fonctions sont en bijection avec [a,b] ...

C'est très simple :
tu a une infinité de points car à l'oeil nu tu va à peine voir les points aligné mais chaque point va devenir un cercle en mathématiques et la on pourra y mettre d'autres points et en zoomant encore il vont aussi apparaîtres commes des cercles et tu pourra encore y glisser des points etc. jusqu'à une infinité...

Bonjour bah c'est facile.

Je te signale que tu ressuscites une discussion vieille de cinq ans. L'auteur de la question ne porte plus de culottes courtes depuis quelques années.

Quand tu écris : a écrit:

car à l'œil nu tu va à peine voir les points aligné mais chaque point va devenir un cercle en mathématiques et là on pourra y mettre d'autres points et en zoomant encore il vont aussi apparaître comme des cercles et tu pourra encore y glisser des points etc. jusqu'à une infinité...

J'ai l'impression que tu confonds "pixels" et "points". Un point est un cercle de rayon nul et tu peux "zoomer" autant que tu veux, si $k$ est un nombre réel, $k \times 0$ vaut toujours $0$. Autrement dit : \og l'image d'un point par une homothétie reste toujours un point \fg.

Bruno