Définition de la médiane en statistiques

bonjour estelle,
s'il s'agit d'une série statistique discrète comme dans ton exemple (c'est-à-dire où on connaît exactement la valeur du caractère pour {\it chaque} individu), on classe les individus par ordre croissant des valeurs du caractère, et la valeur médiane est alors :
- la valeur de l'individu (ou des individus, le plus souvent) classé en position $n$ si la population étudiée a pour effectif $2n+1$ (entier impair), c'est-à-dire classé exactement "au milieu".
- si la population étudiée a pour effectif $2n$ (entier pair), {\it l'usage} veut qu'on prenne la moyenne des valeurs des individus classés en positions $n$ et $n+1$ (ce qui revient à "inventer" un individu fictif ayant une valeur fictive)
Ce dernier cas est celui de ton exemple où la médiane est $\frac{2+4}{2}=3$ (si du moins chaque valeur de ta liste correspond à un seul individu) : la définition est donc respectée, puisque tu as 3 individus (50% de l'effectif total) ayant une valeur inférieure ou égale à la médiane 3, et 3 autres aynat une valeur supérieure ou égale.

Maintenant, s'il s'agit d'une série continue (où les valeurs sont regroupées en intervalles qu'on appelle des classes, et donc où on ne connaît pas la valeur exacte de chaque individu mais l'intervalle dans lequel elle se trouve), on procède alors par valeur approchée selon l'hypothèse que l'on fait sur la distribution des valeurs dans chaque classe. Pour le calcul de la médiane, l'hypothèse la plus courante est celle de la répartition uniforme des valeurs dans chaque classe : une valeur théorique de la médiane s'obtient par interpolation linéaire.

Aleg a utilisé le symbole maudit.

[Effectivement en LaTeX il faut banaliser le % sous la forme \% . AD]

Il me semble quand même qu'il y a une définition "officielle" : une médiane $m$ de $X$ est un réel tel que $P(X \geq m) \geq 1/2$ et $P(X \leq m) \leq 1/2$, ou de manière équivalente, si $X$ est une va intégrable, une médiane $m$ est un réel minimisant la fonction $a \mapsto E(|X-a|)$.

Si on considère une série statistique dont on cherche une médiane, cela revient à chercher une médiane de $X$ de loi $P(X=x_i)=n_i/n$ où $n_i$ est le nombre d'occurence de la valeur $x_i$ dans la série de taille $n$. Pas de problème d'intégrabilité, et on retrouve facilement, en écrivant $E(|X-a|)$ sous la forme d'une somme et en la dérivant sur les intervalles $[x_i, x_{i+1}]$, les conclusions données par aleg et Richard.

A moins que je ne me fourvoies grandement.

Bonsoir RAJ, il y a effectivement une inégalité dans le mauvais sens.
Je modifie ceci tout de suite.

Ah! les miracles du latex.

Malgré tout, je n'ai jamais été convaincu par la définition de la médiane pour les séries discrètes lorsque des valeurs se répètent. Exemple:
la série statistique 1,1,1,1,2 (ou la v.a. qui prend la valeur 1 avec la probabilité 0,8 et la valeur 2 avec la probabilité 0,2). On peut dire que médiane =1, mais je ne trouve pas cela très concluant, dans la mesure où la médiane devrait séparer la population en deux parties égales , mais dans ce cas il est beaucoup plus fréquent (ou probable) d'obtenir 1 que 2.

merci RAJ pour le symbole maudit : je me suis fait avoir comme un bleu...

Quant à votre dernière remarque sur la médiane, je suis à 100 $\%$ (ouf !) d'accord : à mon sens, la médiane n'a aucun intérêt pour une série discrète : en pratique, même sur une population d'effectif raisonnable, il y a tellement d'ex-aequo (les valeurs répétées) que cet indicateur perd toute signification (exemple : les notes d'une promo d'étudiants à un examen).

Par contre, pour une série continue sur un effectif important, la médiane (qui est alors "théorique") peut être très significative : par exemple, la notion de salaire médian me paraît beaucoup plus concrète que la notion de salaire moyen.

Bonjour,

Ah moi je demande à ce que la médiane soit une valeur de caractère quand la série est discrète (ce que n'est pas la moyenne). Pour moi, c'est la première valeur dont la fréquence cumulée dépasse 0,5. Et ainsi on a au moins la moitié de la population qui a une valeur inférieure à la médiane et au moins la moitié qui a une valeur supérieure. Apparement, ce n'est pas universel.

Allez au boulot et bonne journée à tous ....

L'exemple de RAJ est très parlant. Je comprends maintenant mieux pourquoi on peut préférer la médianne à la moyenne. Cela dit, si je comprends bien, la médianne n'est d'utilité dans aucune étude quantitative?

@+

Salut tout le monde, Je pense que pour trouver la solution a tout tes problemes c'est de tout simplement de regarder des vidéos sur la efintion d'une médiane ( il faut voir la pratique d'une médiane). Car en regardant une vidéo ton cerveau va acquerir le sens de ce mot et la pratique d'une médiane plus facilement.Cela a etait prouver scientifiquement en 2008 par le professeur Robert De Varsovie.Et cette technique marche pour toutes autres choses quel que soit le thème.Je te conseille d'apliquer ma technique.Et je te souhaite une bonne réussite dans tout ce que tu voudras entreprendre.

Je m'adresse a tout le monde!!!

Et n'oublier pas la clé de la reussite c'est le travail !!!

C'est bizarre ce besoin de donner des conseils 6 ans après !
Des génies qui ne savent pas lire, vous y croyez ?