Produit de cos(ko)

racinedecheveux
racinedecheveux
dans Les-mathématiques
Bonjour!
La somme est facile, mais pour le produit je bloque depuis plusieurs jours.
Il faut peut etre plus qu'une astuce de calcul pour le calculer:
$\prod_{k=0}^{n} cos(k\theta)$
peut etre qu'un ecrivant cosx= (exp(ix)+exp(-ix))/2 et en testant produit de i=o à 5 ou 6 on peut conjecturer quelque chose, mais ca fait bourrin et j'aime pas les calculs de bourrin (en general on fait ca dans la necessite parce qu'on peut pas faire autrement....bref pas vraiment matheux tout ca)
je solicite une fois de plus votre aide, si vous pouviez m'eclairer.
Merci d'avance

amicalement :)

Réponses

  • jp8
    jp8
    Les $\cos(k\theta)$ doivent pouvoir s'écrire comme parties réelles des racines d'un polynome simple (pensez aux racines nièmes d'un complexe bien choisi).
    Il suffit, une fois ce polynome écrit, d'utiliser les relations entre racines et coefficiens du polynome.

    Sauf erreur.

    Corialement.
  • Nicolas_75
    Nicolas_75
    Bonjour,
    <BR>
    <BR>Je me permets de faire remonter ce fil, qui m'intéresse également.
    <BR>
    <BR><B>jp</B>, je ne suis pas parvenu à mettre en <IMG WIDTH="12" HEIGHT="9" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/17/87871/cv/img1.png&quot; ALT="\oe">uvre votre idée. Pourriez-vous la préciser ?
    <BR>
    <BR>Si quelqu'un a une piste, je suis preneur ! :-)
    <BR>
    <BR>Merci d'avance,
    <BR>
    <BR>Nicolas<BR>
  • B_J
    B_J
    remarquer que $sin(2k\theta)=2sin(k\theta)cos(k\theta)$
    donc $cos(k\theta)=\frac {sin(2k\theta)}{2sin(k\theta)}$ puis simplifier
  • Nicolas_75
    Nicolas_75
    Merci beaucoup.
  • Nicolas_75
    Nicolas_75
    {\bf B_J}, en utilisant votre idée, je ne parviens pas à simplifier tant que cela. Pourriez-vous préciser un peu, s'il vous plaît ?

    Sinon, j'ai essayé avec la formule $\cos a\cdot\cos b=...$, mais sans résultant probant.
  • Lebesgue0
    Lebesgue0
    Bonjour,
    J'ai un résultat dans le cas où $\theta = \frac{\pi}{n}$, mais je ne voit pas pour le cas général.
    On peut tenter de développer en série entière la fonction
    $\theta\longrightarrow \prod_{k=0}^n cos(k \theta)$, pour obtenir une relation de recurrence sur les coefficients, et ainsi former une équation différentielle vérifiée par la fonction (à vue de nez, ça doit être voué à l'échec)

    Lebesgue
  • Jean-Claude3
    Jean-Claude3
    Bonjour.
    En appliquant la formule cosa cosb =1/2[cos(a+b)+cos(a-b)] et en regroupant les termes par 2 on sait que l'on obtient une somme de cosinus. Je ne sais pas si cela aboutit mais c'est ce qui me vient en premier à l'esprit.
    JC
  • GPP29
    GPP29
    Bonjour
    Question : que cherche-t-on à faire et pourquoi ?
    S'agit-il de trouver une expression plus facile à manipuler ? de calculer numériquement ?

    Voici en tout cas une expression qui peut être utile dans certaines situations :
    Si l'on pose u = cos(teta), le produit cherché P_n s'exprime comme un polynome P_n(u), de degré n(n+1)/2, dont on connait explicitement toutes les racines.
    En effet, cos(n teta) peut s'écrire sous la forme
    cos(k teta) = 2^(k_1) (u-u_1k)(u-u_2k) .... (u-u_kk) où les u_lk sont donnés par
    u_lk = cos(x_lk) où les x_lk sont les k racines de cos(k x) = 0 :
    u_lk = cos (x_lk) = cos (PI/(2k) + l PI /k) avec l allant de 1 à k.

    Ainsi, P_n(u s'exprime sous la forme d'un produit
    P_n(u- = 2^(n(n-1)/2) Prod(u-u_lk)
  • jean lismonde
    jean lismonde
    bonjour

    pour compléter l'explication de GPP29 on peut utiliser les polynômes de Tchebychev factorisés:

    cost=cost - cos(pi/2)

    cos2t=2(cost-cos(pi/4))(cost-cos(3pi/4))

    cos3t=2²(cost-cos(pi/6))(cost-cos(3pi/6))(cost-cos(5pi/6))


    cos(nt)=2^(n-1).(cost-cos(pi/2n))(cost-cos(3pi/2n))........[cost-cos((2n-1)t/2n)]

    en multipliant membre à membre on obtient pour le produit considéré un polynôme factorisé en cost de degré n(n+1)/2

    cordialement
  • racinedecheveux
    racinedecheveux
    Bonjour!
    Peut-etre suis-je carrement con (ca arrive ces choses là) mais un truc tout bete me vient:
    On veut calculer :
    $\Prod_{k=0}^{n} cos(k\theta)$
    On considere:
    $\prod_{k=0}^{n} e^{ik\theta}= e^{i \frac{n(n+1))}{2} \theta}$
    donc: $\prod_{k=0}^{n} cos(k\theta) = cos( \frac{n(n+1))}{2})$

    amicalement :)
    PS: pour des calculs dans ce genre là, le mieux c'est quand même quand les termes se detruisent entre eux; il y a quelques exos interessant sur cette page: http://mpsiddl.free.fr/pdf/exosup/entiers.pdf
  • Laotseu0
    Laotseu0
    Euh, racinedecheveux, la partie réelle d'un produit n'est pas égale au produit des parties réelles...
  • bmxer1
    bmxer1
    Ne serais-tu pas en train de dire : $Re(zz')=Re(z).Re(z')$ ce qui n'est pas correct.
    Ce genre de raisonnement marche bien sur avec les sommes mais pas avec des produits.
  • racinedecheveux
    racinedecheveux
    Bonjour!
    Je me disais aussi que j'etais completement con;
    desole de cette polution....

    amicalement :)
  • bmxer1
    bmxer1
    Dieu merci on est encore libre de proposer des idées, quelles soient justes ou non!
    It wasn't pollution for me
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