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pgcd(a,b,c)ppcm(a,b,c)=abc

Envoyé par B_ Jocelyne 
Bonsoir ;
<BR>Je veux montrer que <B><I>pgcd(a,b,c)*ppcm(a,b,c)=abc </I></B>ssi a,b,c sont 2 a 2 premiers entre eux mais je vois pas comment il faut procéder.
<BR>merci pour vos indications.
<BR>
<BR>[J'ai légèrement modifié ton titre pour faciliter la lecture de la première page. md.]<BR>
Re: pgcd(a,b,c)*ppcm(a,b,c)=abc
il y a huit années
avatar
Bon, est-ce que tu supposes connue la relation de Bezout ? Car c'est crucial ici. L'astuce consiste à montrer successivement que le premier terme de l'égalité divise le deuxième, et puis que le deuxième divise le premier, ce qui prouve l'égalité



En esperant ne pas avoir dit trop de conneries.
Oui, la relation de Bezout est connue mais je ne vois pas son intérêt ici
Re: pgcd(a,b,c)*ppcm(a,b,c)=abc
il y a huit années
<latex> Il suffit bien sûr de montrer, sous les hypothèses sur $a,b,c$, que $ppcm(a,b,c) = abc$. On a $pgcd(ab,c) \times ppcm(ab,c) = abc$ et $pgcd(a,c) = pgcd(b,c) = 1$ impliquent que $pgcd(ab,c) = 1$ (car si $pgcd(a,c) = 1$, alors $pgcd(ab,c) = pgcd(b,c)$). ainsi, $ppcm(ab,c) = abc$, et comme $pgcd(a,b)=1$, on a $ab = ppcm(a,b)$. Donc, en résumant tout, on a $ppcm(ppcm(a,b),c) = abc$, soit $ppcm(a,b,c) = abc$.

Borde.
Merci Borde
Re: pgcd(a,b,c)ppcm(a,b,c)=abc
il y a huit années
De rien, B_Jocelyne.
A +
Borde.
Mézalor
Re: pgcd(a,b,c)ppcm(a,b,c)=abc
il y a huit années
<latex> Bonjour,

Ca me rappelle un petit truc rigolo et peu connu, qui généralise le classique $pgcd(a,b) ppcm(a,b) = ab$ :

Pour tous $a, b, c$, on a $$ppcm(a,b,c) = \frac{a\times b\times c \times pgcd(a,b,c)}{pgcd(a,b)\times pgcd(b,c)\times pgcd(c,a)}$$

Ca se généralise à un système de $m$ entier $a_1, \ldots, a_m$~:
$ppcm(a_1, a_2, \ldots,a_m)$ est égal à la fraction dont le numérateur est le produit des pgcd d'un nombre impair de $a_i$ et le dénominateur le produit des pgcd d'un nombre pair de $a_i$.


Mézalor.
merci Mézalor
Re: pgcd(a,b,c)ppcm(a,b,c)=abc
il y a huit années
bonjour,

J'ai essayé de faire le problème et je me suis fait devancé par Borde, (mais on ne perd jamais devant lucky luke, c'est la fatalité...)

Mais je reste quand même sur ma faim, l'énoncé initial contient un SSI, et je ne vois qu'une seule implication... Je me trompe où la réciproque n'est pas démontrée ?

Cordialement
Oui la réciproque n'est pas démontrée.
Mais en fait, on a corrigé aujourd'hui l'exercice et on a utilisé les valuations p-adiques.
Re: pgcd(a,b,c)ppcm(a,b,c)=abc
il y a huit années
ok merci, mais passé par des nombres p-adiques c'est pour la beauté du geste ou bien il n'y a pas plus simple ?
je crois que c'est plus simple avec les valuations p-adiques ( la 2emme implication est assez dure a demontrer)
Re: pgcd(a,b,c)ppcm(a,b,c)=abc
il y a huit années
Tu as raison, Muaddob, je n'ai traité que la condition suffisante. Il semble effectivement que le mieux soit d'utiliser les décompositions primaires pour la condition nécessaire.

Borde.
GG
Re: pgcd(a,b,c)ppcm(a,b,c)=abc
il y a huit années
Salut,
Pour la reciproque on peut la demontrer facilement par contraposition.
En effet
on examine 2 cas:

PGCD(a,b,c)=m >1
alors ppcm(a,b,c)=ppcm(m*a`,m*b`,m*c`)=m*ppcm(a`,b`,c`)<=
m*a`*b`*c`
donc pgcd(a,b,c)*ppcm(a,b,c)<=m*m*a`*b`*c`< ma`*mb`*mc`=abc

PGCD(a,b,c)=1 et PGCD(a,b)=d >1
alors
ppcm(a,b,c)=ppcm(ppcm(a,b),c)=ppcm(d*a`*b`,c)<=d*a`*b`*c
donc pgcd(a,b,c)*ppcm(a,b,c) <=1 *d*a`*b`*c<da`*db`*c=abc


Cordialement
Georges
Re: pgcd(a,b,c)ppcm(a,b,c)=abc
il y a huit années
J'ai posté sur le serveur d'exercice les formules générales pour le pgcd et le ppcm de trois entiers.
Re: pgcd(a,b,c)ppcm(a,b,c)=abc
il y a huit années
<latex> merci GG

mais au risque de vous embêter encore je n'arrive pas à démontrer formellement et assez simplement que les deux cas que tu étudies forment disjonctions de cas ! (intuitivement je suis presque d'accord),

j'ai déjà écrit
lemme facile (si ce n'est pas déjà un théorème): $$lcm(a,b)\leq a*b$$ et $$gcd(a,b)\leq a$$

et que l'on note a,b,c $a_0,a_1,a_2$, alors deux à deux premiers s'écrit
$$\forall i,j \in [0..2]^2 i\not =j \ |\ gcd(a_i,a_j)=1$$
la négation donne
$$\exists i,j \in [0..2]^2 i\not =j \ |\ gcd(a_i,a_j)\not=1$$

soit $$m=gcd(a_i,a_j)\not =1$$ et on pose $$a'_i*m=a_i,\ a'_j*m=a_j$$

alors $$gcd(a_i,a_j,a_k)=gcd(m,a_k)$$ par le lemme on a $$gcd(a_i,a_j,a_k)\leq m$$
par ailleurs
$$lcm(a_i,a_j,a_k)=lcm(m*a'_i,m*a'_j, a_k)=lcm(m*a'_i*a'_j,a_k)$$
par le lemme on a $$lcm(a_i,a_j,a_k)\leq m*a'_i*a'_j*a_k$$
donc $$gcd(a_i,a_j,a_k)*lcm(a_i,a_j,a_k)\leq m*a'_i*m*a'_j*a_k$$
et par définition des a'$$gcd(a_i,a_j,a_k)*lcm(a_i,a_j,a_k)\leq a_i*a_j*a_k$$

rien démontré !!!

je sens bien que tout repose sur le fait que $gcd(a,b)*lcm(a,b)=a*b$ donc les deux inégalité ne peuvent être égale en même temps ... mais j'arrive pas à l'introduire ... si quelqu'un peut me donner une piste ...
Re: pgcd(a,b,c)ppcm(a,b,c)=abc
il y a huit années
<latex> j'ai trouvé tout seul comme un grand !!!

il faut discuter $$gcd(m,a_k)\leq m$$

si $gcd(m,a_k)=m$ alors $$lcm(m*a'_i*a'_j, a_k)=m*a'_i*a'_j*a'_k$$ avec la même notation pour $a'_k$ donc $a'_k
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