pgcd(a,b,c)ppcm(a,b,c)=abc
Bonsoir ;
<BR>Je veux montrer que <B><I>pgcd(a,b,c)*ppcm(a,b,c)=abc </I></B>ssi a,b,c sont 2 a 2 premiers entre eux mais je vois pas comment il faut procéder.
<BR>merci pour vos indications.
<BR>
<BR>[J'ai légèrement modifié ton titre pour faciliter la lecture de la première page. md.]<BR>
<BR>Je veux montrer que <B><I>pgcd(a,b,c)*ppcm(a,b,c)=abc </I></B>ssi a,b,c sont 2 a 2 premiers entre eux mais je vois pas comment il faut procéder.
<BR>merci pour vos indications.
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Réponses
Borde.
A +
Borde.
Ca me rappelle un petit truc rigolo et peu connu, qui généralise le classique $pgcd(a,b) ppcm(a,b) = ab$ :
Pour tous $a, b, c$, on a $$ppcm(a,b,c) = \frac{a\times b\times c \times pgcd(a,b,c)}{pgcd(a,b)\times pgcd(b,c)\times pgcd(c,a)}$$
Ca se généralise à un système de $m$ entier $a_1, \ldots, a_m$~:
$ppcm(a_1, a_2, \ldots,a_m)$ est égal à la fraction dont le numérateur est le produit des pgcd d'un nombre impair de $a_i$ et le dénominateur le produit des pgcd d'un nombre pair de $a_i$.
Mézalor.
J'ai essayé de faire le problème et je me suis fait devancé par Borde, (mais on ne perd jamais devant lucky luke, c'est la fatalité...)
Mais je reste quand même sur ma faim, l'énoncé initial contient un SSI, et je ne vois qu'une seule implication... Je me trompe où la réciproque n'est pas démontrée ?
Cordialement
Mais en fait, on a corrigé aujourd'hui l'exercice et on a utilisé les valuations p-adiques.
Borde.
Pour la reciproque on peut la demontrer facilement par contraposition.
En effet
on examine 2 cas:
PGCD(a,b,c)=m >1
alors ppcm(a,b,c)=ppcm(m*a`,m*b`,m*c`)=m*ppcm(a`,b`,c`)<=
m*a`*b`*c`
donc pgcd(a,b,c)*ppcm(a,b,c)<=m*m*a`*b`*c`< ma`*mb`*mc`=abc
PGCD(a,b,c)=1 et PGCD(a,b)=d >1
alors
ppcm(a,b,c)=ppcm(ppcm(a,b),c)=ppcm(d*a`*b`,c)<=d*a`*b`*c
donc pgcd(a,b,c)*ppcm(a,b,c) <=1 *d*a`*b`*c<da`*db`*c=abc
Cordialement
Georges
mais au risque de vous embêter encore je n'arrive pas à démontrer formellement et assez simplement que les deux cas que tu étudies forment disjonctions de cas ! (intuitivement je suis presque d'accord),
j'ai déjà écrit
lemme facile (si ce n'est pas déjà un théorème): $$lcm(a,b)\leq a*b$$ et $$gcd(a,b)\leq a$$
et que l'on note a,b,c $a_0,a_1,a_2$, alors deux à deux premiers s'écrit
$$\forall i,j \in [0..2]^2 i\not =j \ |\ gcd(a_i,a_j)=1$$
la négation donne
$$\exists i,j \in [0..2]^2 i\not =j \ |\ gcd(a_i,a_j)\not=1$$
soit $$m=gcd(a_i,a_j)\not =1$$ et on pose $$a'_i*m=a_i,\ a'_j*m=a_j$$
alors $$gcd(a_i,a_j,a_k)=gcd(m,a_k)$$ par le lemme on a $$gcd(a_i,a_j,a_k)\leq m$$
par ailleurs
$$lcm(a_i,a_j,a_k)=lcm(m*a'_i,m*a'_j, a_k)=lcm(m*a'_i*a'_j,a_k)$$
par le lemme on a $$lcm(a_i,a_j,a_k)\leq m*a'_i*a'_j*a_k$$
donc $$gcd(a_i,a_j,a_k)*lcm(a_i,a_j,a_k)\leq m*a'_i*m*a'_j*a_k$$
et par définition des a'$$gcd(a_i,a_j,a_k)*lcm(a_i,a_j,a_k)\leq a_i*a_j*a_k$$
rien démontré !!!
je sens bien que tout repose sur le fait que $gcd(a,b)*lcm(a,b)=a*b$ donc les deux inégalité ne peuvent être égale en même temps ... mais j'arrive pas à l'introduire ... si quelqu'un peut me donner une piste ...
il faut discuter $$gcd(m,a_k)\leq m$$
si $gcd(m,a_k)=m$ alors $$lcm(m*a'_i*a'_j, a_k)=m*a'_i*a'_j*a'_k$$ avec la même notation pour $a'_k$ donc $a'_k