Médiatrice et caractérisation
dans Les-mathématiques
Bonjour,
La médiatrice d'un segment est la droite qui coupe le segment perpendiculairement en son milieu.
Je voudrais savoir comment vous vous y prenez pour obtenir la caractérisation des points de la médiatrice : "Les points de la médiatrice sont les points équidistants des extrémités du segment" ?
Une façon de faire est d'utiliser le théorème de Pythagore : C étant un point du plan, on considère son projeté orthogonal sur la droite (AB).
Y a-t-il d'autres façons de faire ?
Merci d'avance.
La médiatrice d'un segment est la droite qui coupe le segment perpendiculairement en son milieu.
Je voudrais savoir comment vous vous y prenez pour obtenir la caractérisation des points de la médiatrice : "Les points de la médiatrice sont les points équidistants des extrémités du segment" ?
Une façon de faire est d'utiliser le théorème de Pythagore : C étant un point du plan, on considère son projeté orthogonal sur la droite (AB).
Y a-t-il d'autres façons de faire ?
Merci d'avance.
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Réponses
Cherchons le lieu des points $M$ tels que $MA=MB$.
On a
$MA=MB$
$\Leftrightarrow MA^2-MB^2=0$
$\Leftrightarrow \vec{MA}^2-\vec{MB}^2=0$
$\Leftrightarrow (\vec{MA}+\vec{MB})\cdot(\vec{MA}-\vec{MB})=0$
$\Leftrightarrow \vec{MI}\cdot\vec{BA}=0$
Donc le lieu est la droite passant par $I$ et perpendiculaire à $(AB)$, c-à-d la médiatrice de $[AB]$.
Est-ce qu'il y a encore d'autres façons de faire ?
Peux-on le montrer avec les outils de sixièmes (angles, axes de symétries ...) ?
merci.
Inversement si $MA=MB$, alors les triangles $MIA$ et $MIB$ sont égaux (3 côtés égaux). Donc les angles $AIM$ et $BIM$ sont égaux. Comme leur somme est $\pi$, ce sont des angles droits. Par suite $M$ est sur la médiatrice de $[AB]$.
a+
Soit ABC un triangle.
Notons respectivement d1, d2 et d3, les médiatrices de [BC], [AC] et [AB].
Soit I, le point d'intersection de d1 et d2.
Démontrer I appartient à d3.
Je ne comprends pas cet exercice.
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Bruno
Bruno