Théorème de Chebotarev

Attention, ce sujet est d'un niveau élevé et il faut avoir de solides notions de théorie du corps de classes.

Pour (tenter de) faire simple, reprenons un cas connu : le TNPPA, qui est une forme explicite du {\it théorème de Dirichlet}, stipule que, si $1 \leqslant a \leqslant q$ sont deux entiers premiers entre eux, alors on a $$\pi(x \, ; q,a) \sim \frac {1}{\varphi(q)} \frac {x}{\ln x}$$ avec les notations usuelles, autrement dit la {\it densité naturelle} de l'ensemble des nombres premiers $p \equiv a \pmod q$ est $\displaystyle {\frac {1}{\varphi(q)}}$.

Le théorème de Chabotarev généralise ce résultat aux cas des extensions galoisiennes de corps de nombres. La condition que tu cites généralise la condition nécessaire "$a,q$ premiers entre eux" du théorème de Dirichlet.

Voilà pour une première explication très basique. Je reviendrai plus tard s'il y a des demandes d'explication supplémentaires.

Borde.

...Continuons l'explication ci-dessus. Dans tout ce qui suit, on considère une extension $\mathbb {L} / \K$ {\bf galoisienne} de groupe de Galois $G$, $\mathfrak {p}$ un idéal premier de $\mathcal {O}_{\K}$ et $\mathfrak {P} \mid \mathfrak {p}$ un idéal premier de $\mathcal {O}_{\mathbb {L}}$ au-dessus de $\mathfrak {p}$. On définit le {\it groupe de décomposition} $\mathcal {D}_{\mathfrak {P}}$ de $\mathfrak {P}$ comme étant le sous-groupe de $G$ tel que : $\mathcal {D}_{\mathfrak {P}} = \{\sigma \in G \, / \, \sigma(\mathfrak {P}) = \mathfrak {P} \}$. On montre que, si $\mathfrak {p}$ {\bf est non ramifié}, alors ce groupe de décomposition $\mathcal {D}_{\mathfrak {P}}$ est alors {\bf cyclique} engendré par {\it l'automorphisme de Frobénius} noté $\sigma_{\mathfrak {P}} = \left ( \mathfrak {P} , \mathbb {L}/ \K \right )$ caractérisé par la congruence $\sigma_{\mathfrak {P}} (x) \equiv x^{\mathcal {N}(\mathfrak {p})} \pmod { \mathfrak {P}}$. De plus, si l'extension $\mathbb {L} / \K$ est {\bf abélienne}, alors $\left ( \mathfrak {P} , \mathbb {L}/ \K \right )$ ne dépend pas de $\mathfrak {p}$ et contient un seul élément, que l'on considère comme élément de $G$ (plutôt qu'un singleton d'élément de $G$).

J'espère que tout ceci pourra éclairer le propos.

Le {\bf théorème de Chebotarev} s'énonce alors ainsi : soit $C$ une classe de conjugaison de $G$. Alors, l'ensemble des idéaux premiers de $\K$ tels que $\left ( \mathfrak {p}, \mathbb {L} / \K \right ) = C$ a pour densité naturelle $\displaystyle { \frac {|C|}{|G|}}$. En particulier, si l'extension $\mathbb {L} / \K$ est abélienne, alors, pour tout $\sigma \in G$ fixé, l'ensemble des idéaux premiers $\mathfrak {p}$ de $\K$ pour lesquels $\left ( \mathfrak {p}, \mathbb {L} / \K \right ) = \sigma$ a pour densité naturelle $\displaystyle {\frac {1}{|G|}}$.

Borde.

Une seule faute : lire (au milieu) " lorsque $\mathbb {L} / \K$ est {\bf abélienne}, alors $\left ( \mathfrak {P}, \mathbb {L} / \K \right )$ ne dépend pas de $\mathfrak {P}$" (au lieu de $\mathfrak {p}$).

Merci,

Borde.

Soit $p$ un nombre premier. Prouver qu'il existe un nombre premier $q$ tel que pour tout entier $n$, le nombre $n^p-p$ n'est pas divisible par $q$.

Je reviens un instant sur l'article proposé par Rodolphe.

Pour ceux qui ne le savent pas, H. Lenstra est, à mon sens, l'un des dix meilleurs mondiaux de théorie algébrique et algorithmique des nombres (avec les français H. Cohen et S. Louboutin, l'allemand F. Lemmermeyer, et l'indien R. Murty, entre autres). Son papier est remarquable, et complète le propos que j'ai mis plus haut. Je l'ai donc téléchargé dans mes petites affaires, et j'en remercie Rodolphe pour cela.

Rajoutons les points suivants :

1. Lorsque l'extension est {\it relative}, c'est-à-dire que l'on considère une extension $\mathbb {L} / \K$ de deux corps de nombres avec $\K \ supset \Q$ (et non plus nécessairement $\K / \Q$, extension que l'on appelle {\it absolue}), alors le {\it discriminant relatif} $\Delta_{\mathbb {L} / \K}}$ est alors un {\ idéal} de $\mathcal {O}_{\K}$, et non plus un entier comme dans le cas absolu. Ainsi, l'écriture $\mathfrak {p} \nmid \Delta_{\mathbb {L} / \K}}$ est à prendre entre {\bf idéaux} au sens habituel.

2. Le fait que $\mathfrak {p}$ soit non ramifié équivaut, d'après la théorie du corps de classes, au fait que $\mathfrak {p} \nmid \Delta_{\mathbb {L} / \K}}$, dans le cas galoisien. Ainsi, si $\mathfrak {p}$ est non ramifié, le frobénius $\left (\mathfrak {P}, \mathbb {L} / \K \right )$ est une classe de conjugaison dans $G$, et ainsi l'écriture $\left (\mathfrak {P}, \mathbb {L} / \K \right ) = C$ dans l'énoncé du théorème de Chebotarev a bien un sens.

3. L'un des corollaires classiques du théorème de Chebotarev est le résultat suivant : si un polynôme $P(X) \in \K[X]$ se décompose en facteurs du premier degré modulo $\mathfrak {p}$ pour un ensemble d'idéaux premiers $\mathfrak {p}$ de densité égale à $1$, alors il se décompose dans $\K[X]$. On comprend alors ce qui a motivé les exemples dans l'introduction de cet article.

Je voudrais terminer ce laïus en rendant hommage aux modérateurs en général, et à Alain Debreil en particulier, qui font un travail remarquable, et, il faut bien le dire, sur lesquels je m'appuie pour corriger mes messages. En particulier, les connaissances d'Alain en Algèbre nous assurent d'une correction rapide et sûre, ce qui est un confort certain !

Borde.

Je confirme tout d'abord que le mémoire de Brux est un très bon mémoire, à lire absolument pour qui s'intéresse à la théorie des nombres en général !
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<BR>Pour un cours téléchargeable de théorie du corps de classes (mais en anglais), tu as <a href=" http://www.jmilne.org/math/"&gt; http://www.jmilne.org/math/</a>, puis clique sur "class field theory" sur la partie gauche. Le fichier PDF mesure environ 1,7 Mo.
<BR>
<BR>Bon courage,
<BR>
<BR>Borde.<BR>

$ \mathbb{K}\supset \mathbb{Q}$

Le mémoire de Brux le rappelle ci-dessus, il s'agit d'une extension de la définition de la densité naturelle : soit $\Omega$ l'ensemble de tous les idéaux premiers de $\K$. Nous dirons qu'un ensemble $E$ d'idéaux premiers de $\K$ a une {\bf densité} (naturelle) $\delta(E)$ si la limite $$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac {\left | \{ \mathfrak {p} \in E \, / \, \mathcal {N}(\mathfrak {p}) \leqslant x \} \right |}{\{ \mathfrak {p} \in \Omega \, / \, \mathcal {N}(\mathfrak {p}) \leqslant x \} \right |}$$ existe et vaut $\delta(E)$. D'après le {\it théorème des idéaux premiers}, on a donc : $$\delta(E) = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac {\left | \{ \mathfrak {p} \in E \, / \, \mathcal {N}(\mathfrak {p}) \leqslant x \} \right |}{x / \ln x}}.$$

{\bf Exemple} (théorème de Dirichlet généralisé). Soit $\mathfrak {m} = \mathfrak {m_0} \mathfrak {m}_{\infty}$ un cycle arithmétique, lsoit $\mathfrak {a}$ un idéal entier premier avec $\mathfrak {m}_0$ et $E$ l'ensemble des idéaux premiers dont la classe d'équivalence dans $Cl_{mathfrak {m}} (\K)$, le groupe de classe de rayon modulo $\mathfrak {m}$, est celle de $\mathfrak {a}$. Alors : $$\delta(E) = \frac {1}{|Cl_{mathfrak {m}}} = \frac {1}{h_{\mathrak {m}}}.$$

Borde (qui n'a pas réellement de "savoir").

Le mémoire de Brux le rappelle ci-dessus, il s'agit d'une extension de la définition de la densité naturelle : soit $\Omega$ l'ensemble de tous les idéaux premiers de $\K$. Nous dirons qu'un ensemble $E$ d'idéaux premiers de $\K$ a une {\bf densité} (naturelle) $\delta(E)$ si la limite $$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac {\left | \{ \mathfrak {p} \in E \, / \, \mathcal {N}(\mathfrak {p}) \leqslant x \} \right |}{\{ \left | \mathfrak {p} \in \Omega \, / \, \mathcal {N}(\mathfrak {p}) \leqslant x \} \right |}$$ existe et vaut $\delta(E)$. D'après le {\it théorème des idéaux premiers}, on a donc : $$\delta(E) = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac {\left | \{ \mathfrak {p} \in E \, / \, \mathcal {N}(\mathfrak {p}) \leqslant x \} \right |}{x / \ln x}}.$$

{\bf Exemple} (théorème de Dirichlet généralisé). Soit $\mathfrak {m} = \mathfrak {m_0} \mathfrak {m}_{\infty}$ un cycle arithmétique, lsoit $\mathfrak {a}$ un idéal entier premier avec $\mathfrak {m}_0$ et $E$ l'ensemble des idéaux premiers dont la classe d'équivalence dans $Cl_{\mathfrak {m}} (\K)$, le groupe de classe de rayon modulo $\mathfrak {m}$, est celle de $\mathfrak {a}$. Alors : $$\delta(E) = \frac {1}{|Cl_{\mathfrak {m}}|} = \frac {1}{h_{\mathfrak {m}}}.$$

Borde (triplon...).

Un bruit de couloir que j'ignorais et que je me serais allègrement passé d'apprendre. En tout cas, la note obtenue et les commentaires dont m'avaient fait part le directeur de ce mémoire (G.Hanrot) m'avaient bien convenus à l'époque.

C'est loin tout ça, mais la lecture de ce message me touche quand même.

brux

Ancien titulaiure d'un DEA en mathématique appliquée, et m'intéressant à cette fameuse conjecture,
quelqu'un peut -il m'expliquer la choses suivante :

pourquoi tous les multiples de trois ne répondent pas à cette conjecture
(I.E tout "triple" si on les appelle comme ça est somme de deux nombres premiers)
exemple : 15
15 ne peut pas se décomposer comme somme de 2 nombres premiers
il est multiple de trois

pourquoi tout autre nombre ne répond pas à la conjecture
pourquoi est-ce le nombre "deux" qui fait office de catalyseur ?
Il y a quand même quelque chose de divin là dedans ?

le nombre 2 est-il divin ?

j'ai lu quelquepart que c'était foutaise de s'intéresser à la distribution de nombres premiers vers l'infini
pour démontrer cette conjecture, c'est ce que semble pourtant faire le théorème énoncé ci desuus
(on y parle de densité et de limites )

merci pour vos réponses,

stéphane

bref le premier multiple de trois

désolé pour le 17 ...
semaine chargée de travail et café non pris...

Je me posais simplement la question de savoir si la conjecture de Goldbach était extensible aux autres entiers que les entiers pairs.

Si on appelle les "triple" les multiples de trois,
est-ce que la conjecture reste vrai :

est ce que tout multiple de trois peut s'écrire comme somme de deux premiers ?

qu'est-ce qui ferait que cette conjecture s'applique uniquement aux multiples de deux (les pairs)

Je n'ai ni le temps ni surtout le niveau pour m'attaquer aux différentes sources d'inspiration de ceux qui prétendent avoir démontré
(Théorème de Chebotarev , corps des classe, méthode du cercle, etc....)

C'est une pure question de curiosité, cette conjecture "simple" en apparence a des enjeux universels semble-t-il

Merci pour vos réponses,

Puisque ce vieux sujet est ressorti, à noter qu'il existe des versions effectives du théorème de Tchebotarev, à la fois sous l'hypothèse de Riemann étendue qu'inconditionnellement (Lagarias \& Odlyzko, 1977).

On a aussi des versions courtes de ce résultat (Balog \& Ono, 2001).

Enfin, une application pratique de Tchebotarev que je n'ai pas vue mentionnée plus haut : si $P \in \mathbb{Z}[X]$ est irréductible, la densité (de Dirichlet) des nombres premiers $p$ pour lesquels $\overline{P}$ est scindé dans $\mathbb{F}_p[X]$ est égale à $\left| \textrm{Gal} (P / \mathbb{Q}) \right |^{-1}$.

alors je me pose cette question bête mais pourquoi n'y arrive-t-on pas ?

Peut-être parce que c'est difficile, voire même impossible !

Quand on se "renseigne peu ou prou sur l'état de l'art", on essaie le prou plutôt que le peu.

Cordialement.

Merci pour vos retours,

il est connu que c'est extrèmement difficile voire impossible.. justement :
ma question portait sur le pourquoi de cette impossibilité,
quelles sont les limitations de la série complexe de la fonction Théta qui font qu'on arrive pas à en déduire les zéros
(les démontrer) dans le plan complexe,

quelles sont les difficultés rencontrées ?
j'ai du mal a comprendre,

merci

Stéphane

Car les humains ne sont pas aussi intelligents qu'on le pense.Tu n'as qu'à voir leur comportement.

S


PS/ concernant la conjecture ABC, j'ai acheté le dernier Pour la Science,je ne l'ai pas encore consulté, mais de toute façon, je suis sûr que je ne vais rien comprendre.:)o
Pauvre Ait Joseph!

Si je dis « un gars », ça ne signifie pas que je le mets dans le même panier que P. ou J.G. ou autre sympathique intervenant du forum.:D Ce n'est effectivement pas n'importe quel gars, mais il n'en reste pas moins que la conjecture est loin d'être unanimement considérée comme pliée.

Si le gars n'a pas démontré la conjecture,alors c'est un gars qui se trouve dans le même panier que les autres.

Cordialement

Si

@AitJoseph : bien évidement non. Tu te moques de nous ?

J'en conclus que tu te moques de nous.

@AitJoseph : comme l'a bien expliqué afk (que je salue en retour), on ne peut pas le mettre dans le même panier que les sympathiques intervenants auxquels j'ai fait allusion car 1) c'est un professionnel reconnu qui a déjà produit des travaux importants, 2) il ne passe pas son temps à s'épancher en trucs sans queue ni tête ou trivialement faux sur des forums. Qu'il ait démontré la conjecture abc (qui n'est pas de Grothendieck à propos Sylvain) ou pas, seul l'avenir le dira, une fois que les spécialistes se seront appropriés les outils nouveaux qu'il a apportés. Ce qui visiblement va prendre du temps parce que c'est du costaud pas exactement à la portée de tout le monde. Et même s'il y a une erreur et que la conjecture n'est finalement pas démontrée, il semble bien qu'il y ait énormément de choses à prendre dans son travail de toutes façons et que cela va entraîner plein de développements ultérieurs. Enfin, c'est ce qu'on dit dans les milieux autorisés où l'on s'autorise à penser.

bon...

merci pr vos retours,

je pense que je n'aurai pas de réponse sérieuse sur ce forum ...
je vais continuer à me renseigner sur la chose car la question est fascinante

je suppose que pour démontrer GoldBach,
il faut démontrer que :
a chaque fois que la série zéta donc converge (converge puisque c'est une série) vers zero, elle le fait sur l'axe critique Re(s)=1/2

il me manque un élément pour comprendre

lors de mes travais j'avais bien vu l'exponetielle complexe notament appliqué à la tranforméé de Fourrier
mais je ne vois pas ce que représente une puissance avec un nombre complexe au dessus (I.E : S)
comment peut ton décomposer le tout et séparer partie imaginaire et réelle ?

Avez-vous des liens ? je vais cherche dans les cours sur ce site,

merci encore