homéomorphisme sphère-plan
dans Les-mathématiques
Question trés bête, mais à laquelle je n'ai pas su trouver de réponse :
Comment prouve-t-on que la sphère n'est pas homéomorphe à une partie du plan ?
Mes pistes de réflexion : si un tel homéomorphisme f existait, l'image de la sphère serait d'une part compacte, et me semble-t-il ouverte (mais je n'arrive pas à le prouver complètement) dans le plan. Dans ce cas, par connexité, ça serait le plan entier ce qui contredit le caractère compact.
Pour justifier que l'image est ouverte, je dis que chaque point M de la sphère a dans la sphère un voisinage homéomorphe à un disque fermé de rayon >0, et le point où je bloque est de montrer que l'image de M est intérieur pour la topologie du plan à l'image de ce disque.
Qu'en pensez-vous ?
Merci d'avance à tous les contributeurs.
Comment prouve-t-on que la sphère n'est pas homéomorphe à une partie du plan ?
Mes pistes de réflexion : si un tel homéomorphisme f existait, l'image de la sphère serait d'une part compacte, et me semble-t-il ouverte (mais je n'arrive pas à le prouver complètement) dans le plan. Dans ce cas, par connexité, ça serait le plan entier ce qui contredit le caractère compact.
Pour justifier que l'image est ouverte, je dis que chaque point M de la sphère a dans la sphère un voisinage homéomorphe à un disque fermé de rayon >0, et le point où je bloque est de montrer que l'image de M est intérieur pour la topologie du plan à l'image de ce disque.
Qu'en pensez-vous ?
Merci d'avance à tous les contributeurs.
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Réponses
Si tu veux te passer de ce theoreme, tu peux y arriver dans le plan en regardant l'indice de l'image d'un petit cercle autour d'un point par rapport a l'image du point. S'il n'etait pas nul, tu pourrais, en haut(i.e.dans la sphere), contracter ce petit cercle sur un point en evitant le point que tu as pris au depart (et en ne s'eloignant pas trop), ce qui est impossible. Donc l'image des cercles proches d'un point tourne bien autour de l'image du point, ce qui te garantit que ton application est bien ouverte.
Sinon, je reste un peu frustré car j'aurais espéré une réponse 'élémentaire', disons niveau premier cycle universitaire, ou math-spé, mais peut-être l'évidence énoncée par le résultat n'a-t-elle rien de triviale quand il s'agit de la démontrer.
Quand à prouver cela précisément, c'est sans doute moins évident (cf "Carré et triangle", sur ce forum).
Cordialement
je pense qu'il faut s'interreser a la frontiere:
La sphere n'a pas de frontiere
mais si l'image de la sphere par un homeomorphisme est une partie compacte:
celle ci a une frontiere.
donc "il ne peut"? y avoir d'homemorphisme???
Parce que que la sphère ne soit pas homéo au plan tout entier, c'est assez facile...
Explique moi plus clairement s'il te plait
desole desole
Soit h l'homéomorphisme supposé du disque D1 vers la sphère S1 (supposons de rayon 1 pour simplifier et centré sur 0).
Soit h' l'application de |R3 vers |R2, qui étend h ainsi : pour tout point hors du disque, ce point appartient à un disque homothétique à D1 et on lui attribue la même image que son homothétique point de D1.
On démontre que h' est continue (soit x un point de |R2 et x1 son "projeté homothétique" sur D1), l'image de x est la même que l'image de x1, alors soit un voisinage W de h'(x), on peut trouver un voisinage de V de x tel que h((V) inclus dans W - il suffit de considérer une boule ouverte centrée sur x1 et dont l'image est incluse dans W, et de considérer l'homothétie appliquée sur cette boule ouverte pour qu'elle devienne un voisinage de x)
Par conséquent l'image réciproque de tout ouvert de |R3 est un ouvert de |R2
Or l'image réciproque de tout voisinage d'un point de la sphère serait un voisinage du point correspondant du disque et inclus dans le disque par construction de h', comme h est bijective (je dis bien h, pas h' évidemment) en parcourant tous les points de la sphère on parcourt tous les points du disques, on en arrive à la conclusion que chaque point du disque admet un voisinage inclus dans le disque, d'où le disque est voisinage de tous ses points et est ouvert.
Mais comme h' est continue, l'image réciproque de S1 (qui est fermée) est un fermé, donc le disque est fermé.
Et dans |R2, les seuls ensembles ouverts et fermés à la fois sont |R2 et le vide, d'où la contradiction et le fait que D1 et S1 ne sont pas homéomorphes.
Pour tout point x de |R2 dont la norme est strictement supérieure à 1, on prolonge h en h' en attribuant à x la valeur de son point homothétique sur C1.
Donc tout mon propos tombe.
(*) S2 = la sphère centrée sur 0 et de rayon 1 dans |R3, c'est-à-dire : les points (x,y,z) avec x2+y2+z2=1
(*) D1 = le disque centré sur 0 et de rayon 1 dans |R2, c'est-à-dire les points (x,y) avec x2+y2 <= 1
(*) C1 = le cercle centré sur 0 et de rayon 1 dans |R2, c'est-à-dire les points (x,y) avecx2+y2 = 1
C1 est la frontière de D1.
Soient alors sur le disque A = (-1; 0) et B = (0; 1), [AB] est le diamètre du disque sur l'axe des x.
S'il y a un homéomorphisme entre le disque et la sphère, alors soient A' et B' les images de A et de B, avec nécessairement A' <> B' (puisque A<>B)
Appliquons à la sphère deux rotations (bijections continues |R2 dans |R2, donc la composition avec l'homéomorphisme est toujours un homéomorphisme) de telle sorte que A' = (-1; 0; 0) et B' = (x, 0, z) avec z>0 et notons (A',B') l'arc de cercle reliant A' à B' (pour "visualiser", l'arc (A',B') est un bout de méridien partant de l'équateur et restant dans l'hémisphère nord).
Il est clair que S2 - (A',B') est connexe, car pour tout point P' de la sphère, on peut rejoindre le pôle sud en suivant un méridien et en se dirigeant toujours vers le sud (donc sans jamais rencontrer (A',B') et par conséquent on peut relier deux points quelconques P' et Q' en combinant les deux trajets.
Par l'homéomorphisme, cela impose à l'image réciproque de (A',B') de laisser le disque connexe, ce qui force cette image à être le demi-cercle reliant A à B (c'est là où c'est visuel, il faudrait démontrer formellement que tout chemin qui relie A à B en passant par l'intérieur du disque partage le disque en deux parties disjointes). Pour fixer les idées, supposons que ce soit le demi-cercle inférieur (passant par le point (0; -1)).
Le même raisonnement fait que l'arc de cercle (B',A'), le parcourt du méridien en partant de B' et en allant vers A' tout en suivant le même sens que (A',B') (c'est-à-dire : (A',B') U (B',A') = le tour de la sphère par le méridien = le cercle de rayon 1 avec y=0) a pour image réciproque le demi cercle reliant B à A, "opposé" au demi-cercle précédent, c'est-à-dire le demi-cercle haut passant par (0; 1), ce qui fait que la réunion des deux demi-cercles est exactement égale à C1
Or le disque D1 - C1 est connexe (on relie tout point P et Q intérieur au disque par le segment [PQ]), alors que la sphère moins le tour complet du méridien n'est pas connexe (deux demi-sphères disjointes, on démontre facilement que le point (0; 1; 0) se relie à (0; -1; 0) par un chemin continu pour lequel il existe un point (x, 0, z) - théorème des valeurs intermédiaires - donc coupe le méridien y=0).
Par conséquent l'homéomorphisme n'existe pas.