DL : besoin d'aide...j'ai rouillé !
Bonjour a tous,
je vous soumets une question qui me tracasse. Elle est en fait assez simple : etant donnee une fonction $f$ archi-reguliere et deux points tres proches $x_0$ et $x'_0$. Si on fait un DL au voisinage de $x_0$ puis le DL de ce DL au voisinage de $x'_0$, cela revient-il a faire le DL au voisinage de $x'_0$ puis le DL de ce DL au voisinage de $x_0$ ???? En gros, est-ce que les coefficients finaux seront les memes ????
Ce n'est pas tres clair et je m'en excuse. Je vous explique la situation.
Supposons que la fonction $f$ represente en finance le prix d'un bond (un titre) fonction d'un pourcentage $x$.
Disons qu'un titre du tresor OAT vaille {\$}102 pour un taux de 3{\%}.
Si je veux calculer la sensibilite de mon OAT au premier ordre, je fais un DL, ou si vous voulez un developpement de Taylor autour de $x_0=3${\%}.
Et donc ma sensibilite pour $1bp$ (1 point de base = 0.01{\%}) est tout simplement egale a $\Delta f = f'(3)*\Delta x=f'(3)*1bp$. Cela veut dire que si mon taux augmente de 1bp, mon prix augmentera par exemple de 50 centimes.
Le truc, c'est que ma fonction $f$ est assez compliquee, et je voudrais la simplifier en exploitant le fait que les taux sont tres bas dans mon cas, et donc simplifier mon expression de $f$ en developpant suivant $x$ au voisinage de 0.
Quitte ensuite a appliquer ma formule $\Delta prix = g'(3)*1bp$. Je mets ici $g$ car c'est la fonction approximante de $f$ pour $x$ au voisinage de $0$. En l'occurence, $g$ est une fonction affine puisque c'est un DL a l'ordre 1 dans mon cas.
Est-que ca marche a l'ordre 1 ? et dans le cas general ?
Faut dire que je ne m'etais pas rendu compte de ce que je faisais vu que je faisais des DL a la physicienne. Cela me rappelle les calculs compliques ou on approximait, puis on derivait ces approximations pour les mettre dans d'autres formules etc...Et je me suis rendu compte dans mon calcul qu'il y avait un pasage en force quelque part, une sorte de malaise car je sentais que quelque chose etait foireux. Ce n'est apres que j'ai realise que dans un cas, on faisait un DL au voisinage d'un point bien precis et que dans la'utre on simplifait car on avait des termes "petits" d'ou ma question.
J'ai gribouille des choses, et je pense que la reponse est oui, au moins a l'ordre 1 mais je voudrais votre avis.
Merci beaucoup !
See ya'
vinh
See ya' !
je vous soumets une question qui me tracasse. Elle est en fait assez simple : etant donnee une fonction $f$ archi-reguliere et deux points tres proches $x_0$ et $x'_0$. Si on fait un DL au voisinage de $x_0$ puis le DL de ce DL au voisinage de $x'_0$, cela revient-il a faire le DL au voisinage de $x'_0$ puis le DL de ce DL au voisinage de $x_0$ ???? En gros, est-ce que les coefficients finaux seront les memes ????
Ce n'est pas tres clair et je m'en excuse. Je vous explique la situation.
Supposons que la fonction $f$ represente en finance le prix d'un bond (un titre) fonction d'un pourcentage $x$.
Disons qu'un titre du tresor OAT vaille {\$}102 pour un taux de 3{\%}.
Si je veux calculer la sensibilite de mon OAT au premier ordre, je fais un DL, ou si vous voulez un developpement de Taylor autour de $x_0=3${\%}.
Et donc ma sensibilite pour $1bp$ (1 point de base = 0.01{\%}) est tout simplement egale a $\Delta f = f'(3)*\Delta x=f'(3)*1bp$. Cela veut dire que si mon taux augmente de 1bp, mon prix augmentera par exemple de 50 centimes.
Le truc, c'est que ma fonction $f$ est assez compliquee, et je voudrais la simplifier en exploitant le fait que les taux sont tres bas dans mon cas, et donc simplifier mon expression de $f$ en developpant suivant $x$ au voisinage de 0.
Quitte ensuite a appliquer ma formule $\Delta prix = g'(3)*1bp$. Je mets ici $g$ car c'est la fonction approximante de $f$ pour $x$ au voisinage de $0$. En l'occurence, $g$ est une fonction affine puisque c'est un DL a l'ordre 1 dans mon cas.
Est-que ca marche a l'ordre 1 ? et dans le cas general ?
Faut dire que je ne m'etais pas rendu compte de ce que je faisais vu que je faisais des DL a la physicienne. Cela me rappelle les calculs compliques ou on approximait, puis on derivait ces approximations pour les mettre dans d'autres formules etc...Et je me suis rendu compte dans mon calcul qu'il y avait un pasage en force quelque part, une sorte de malaise car je sentais que quelque chose etait foireux. Ce n'est apres que j'ai realise que dans un cas, on faisait un DL au voisinage d'un point bien precis et que dans la'utre on simplifait car on avait des termes "petits" d'ou ma question.
J'ai gribouille des choses, et je pense que la reponse est oui, au moins a l'ordre 1 mais je voudrais votre avis.
Merci beaucoup !
See ya'
vinh
See ya' !
Réponses
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pour un exemple simple, prenons par exemple $f(r)=(1+r)^{\alpha}$ pour $r_0=2${\%}.
Voyons les 2 cas.
Taylor proprement (derivee appliquee en $r_0$ multipliee par un accroissement petit) puis DL car taux petits
$$
\Delta P = {\alpha}(1+r_0)^{\alpha -1}\Delta r
$$
puis DL car $r$ et $r_0$ "petits"
$$
\Delta P = {\alpha}(1+[\alpha -1]r_0)\Delta r
$$
DL car taux petits puis Taylor proprement
$$
\Delta P = (1+\alpha r)\Delta r
$$
puis Taylor proprement (derivee appliquee en $r_0$ multipliee par un accroissement petit)
$$
\Delta P = \alpha \Delta r
$$
bon la ca ne marche pas mais si on avait fait le DL plus haut a l'ordre 2
$$
\Delta P = (1+\alpha r+ \frac{\alpha (\alpha -1)}{2})r^2\Delta r
$$
la ca aurait marche...
Bien sur, cela ne fait pas officie de preuve, mais cela semble corroborer mon intuition...
See ya'
vinh
See ya' ! -
Bonjour Vinh.
Est-ce que je comprends bien ? Tu as une fonction $f$ disons $\mathcal C^n$ pour $n$ assez grand définie dans un voisinage de $a$ et $b$ appartient à ce voisinage. Tu fais un d.l. à l'ordre $p$ au voisinage de $a$ et tu considère $g$ le polynôme de degré $p$ obtenu dont tu fais un d.l. du polynôme $g$ au voisinage de $b - a$.
Sous l'hypothèse de dérivation, les coefficients s'expriment en fonction des dérivées successives de $f$ et $g$ aux divers points. Finalement, tu as un premier polynôme de degré $p$ dont les coefficients sont des $\dfrac 1{k!}f^{(k)}(b)$ et le second fait intervenir les mêmes dérivées en $a$ avec des combinaisons entre elles à base de $(b - a)^k$.
Je n'ai pas fait le calcul mais, dans ces conditions, l'égalité des coefficients me surprendrai. Par contre, pour des fonctions ne variant pas trop et dont les dérivées ne varieraient pas trop non plus, les coefficients pourraient être assez proches.
Bien amicalement,
Bruno -
Il faut te méfier, par exemple on a
f(x) = f(0) +x f'(0) +o(x²)
MAIS on n'a pas
f(0) = f(x) -x.f'(x) +o(x²) en 0 malgré les apparences (prendre f(x)=x²sin(1/x))
(dans ce cas précis, il faut un aspect C1).
Effectivement, si ta fonction est C infini, appliquer les formules de Taylor-Lagrange à ta fonction et toutes les dérivées entrant en jeu te permettra de conclure. -
Bonjour Bruno et Prof_ !
merci pour votre aide...Donc cela n'est pas si évident que ça...Cela m'apprendra à conclure sur un exemple...
C'est effectivement comme cela que j'avais formalisé les choses et que je me suis posé le problème.
Mais je pense qu'au premier ordre, ça devrait marcher. Je n'ai en fait besoin que d'une approximation pour avoir une idée au premier ordre de la sensibilité du prix demon titre.
En tout cas merci à tous, ça fait plaisir de voir qu'on a toujours des fidèles compagnons forumeurs pour nous aider !
Bien à vous,
See ya
vinh
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