inégalité Cauchy Schwartz (L1/L2)
dans Les-mathématiques
slt tout le monde
je vous écris car j'aurais besoin d'un petit coup de main sur un exo.
en fait, on a:
L(v)=$\int_{0}^{1}f(t)v(t)dt$ et =$\int_{0}^{1} (u(t)v(t)+u'(t)v'(t))dt$
on sait que f,u et v sont de classe C1 et qu'elle s'annule en 0 et 1
et on me demande de montrer que valeur absolue de L(v)$\leq$$\alpha$*norme euclidienne de v avec alpha un réel positif
et avec norme euclidienne de v=racine carré de
et pour cela ,on me demande d'utiliser inégalité caushy shwartz ,la forme ou il y a une racine et une valeur absolue.
le probleme,c'est que je ne vois pas du tout comment aboutir au résultat car la fonction f me gene puisque qu'elle n'intervient pas dans le résultat mais je ne vois pas comment l'enlever!
j'espere que quelqu'un poura m'aider!
merci d'avance
je vous écris car j'aurais besoin d'un petit coup de main sur un exo.
en fait, on a:
L(v)=$\int_{0}^{1}f(t)v(t)dt$ et =$\int_{0}^{1} (u(t)v(t)+u'(t)v'(t))dt$
on sait que f,u et v sont de classe C1 et qu'elle s'annule en 0 et 1
et on me demande de montrer que valeur absolue de L(v)$\leq$$\alpha$*norme euclidienne de v avec alpha un réel positif
et avec norme euclidienne de v=racine carré de
et pour cela ,on me demande d'utiliser inégalité caushy shwartz ,la forme ou il y a une racine et une valeur absolue.
le probleme,c'est que je ne vois pas du tout comment aboutir au résultat car la fonction f me gene puisque qu'elle n'intervient pas dans le résultat mais je ne vois pas comment l'enlever!
j'espere que quelqu'un poura m'aider!
merci d'avance
Réponses
-
Bonsoir
la constante alpha dépend de f en réalité, elle doit être fixée une fois pour toute, dans votre énoncé je suppose
aimablement
S -
eh non malheuresement!elle n'est pas fixé!
-
Comme f est C1 et que [0,1] est compact (ferme borne puisqu'on est dans R), f et f' sont borne sur [0,1]. Avec ca on peut peut etre enlever f et f'
-
est-ce qu'on peut calculer $\int_{0}^{1} [u^2'(t)]dt$ sans connaitre u?
il me semble que non mais j'en suis pas sur -
si on prend la suite fn(t)=n(t²-t), si alpha est constant, et si l'on prend v = f1(t) le membre de droite est constant alors que le membre de gauche n'est pas borné, donc quelque chose m'échappe
S -
pourtant,j'ai vérifié et il n'y a pas d'erreur dénoncé.
le pite c'est que après j'ai exactement 2 fois la meme question avec d'autre 1 autre application!! -
non, mais tu peux le majorer, vues les hypotheses.
En faisant tres rapidement, je trouve que
$$
\alpha = \sup_{[0,1]}|f|\left( \dfrac{ \sup |u'|}{ \sup |u|}\right)^2
$$
c'est peut-etre faux, alors que quelqu'un corrige...
See ya'
vinh
See ya' ! -
$|L(v)| \leq \|f\|_{\infty}\int_0^1 |v(t)|dt \leq \|f\|_{\infty}\|v\|_2$ (CS)
et donc comme \|v\|_2 \leq \|v\|$ (pour la norme qu'on a ici), on en déduit
$|L(v)| \leq \|f\|_{\infty}\|v\| $ -
$\displaystyle |L(v)| \leq \|f\|_{\infty}\int_0^1 |v(t)| \mathrm dt \leq \|f\|_{\infty}\|v\|_2$ (CS)
et donc comme $\|v\|_2 \leq \|v\|$ (pour la norme qu'on a ici), on en déduit
$|L(v)| \leq \|f\|_{\infty}\|v\| $ -
A-t-on $||L||=||f||_\infty$ ?
-
si v s'annule en 1 :
($\int_{0}^{1} f*v dt $) $^2$ = ($\int_{0}^{1} F*v' dt $) $^2$
d'où
($\int_{0}^{1} f*v dt $) $^2$ = (($\int_{0}^{1} f*v dt $) $^2$ + ($\int_{0}^{1} F*v' dt $) $^2$ ) / 2 $\leq$ ( ($\int_{0}^{1} f $^2$ dt $) *($\int_{0}^{1} v $^2$ dt $) + ($\int_{0}^{1} F $^2$ dt $) * ($\int_{0}^{1} v' $^2$ dt $) ) / 2 $\leq$ A * ($\int_{0}^{1} v $^2$ + v' $^2$ dt $)
Avec F la primitive de f s'annulant en 0 et A le max de ($\int_{0}^{1} f $^2$ dt $) et ($\int_{0}^{1} F $^2$ dt $) -
A-t-on $ \vert\vert L\vert\vert=\vert\vert f\vert\vert _\infty$ ?
Si on se place dans l'espace des fonctions continues qui s'annulent en 1 (pour v ) (ce qui est le cas dans la question de mouss) alors non je ne pense pas
Si je me sui pas trompé dans ma démonstration :
alors on peu prendre A² = max ( ($ \int_{0}^{1} f $^2$ dt $) , ($ \int_{0}^{1} F $^2$ dt $) )
on voi que forcément A $\leq$ $\vert\vert f\vert\vert _\infty$ avec égalité si et seulement si f est constante
(en effet
($ \int_{0}^{1} F $^2$ dt $) $\leq$ 1/3 * $\vert\vert f\vert\vert _\infty$² )
du moins si je n'ai pas fait de faute -
Dans ce cas là, je repose ma question :
A-t-on ||L||=A ? -
Bon, j'ai demandé à mon prof ce matin pour avoir une aide pour faire cette question mais ce dernier m'a dit que ce n'était pas vraiment difficile alors que ça fait plus de 2h que je suis bloqué dessus !
Je pense qu'il doit y avoir une astuce mais je ne vois pas laquelle ! -
Ben tu as des démonstrations au dessus
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Bonjour!
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