prolongement zeta
dans Les-mathématiques
Bonjour a tous j'ai une petite question d'ordre culturelle :
j'ai vu en td comment prolonger $\zeta$, on a pris l'expression par la serie pour $Re(s)>1$ on l'a multiplie par la fonction $\Gamma$, on obtient une integrale et on montre que cette integrale se "decompose" en une fonction holomorphe + une fonction meromorphe. Enfin on utilise un resultat montre plus tot : $\frac{1}{\Gamma}$ est entiere et s'annule sur les entiers negatifs. On obtient notre prolongement
J'en viens maintenant a ma question : est-ce qu'il y a plus simple et/ou plus joli pour prolonger $zeta$?
Par plus joli et plus simple j'entend par exemple le prolongement qu'on obtient sur les complexes de parties reelles >0 en additionnant la serie alternee $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n}$.
PS : les maths pour la culture c'est bien mais faut penser utile aussi donc les examens se rapprochant si quelqu'un a des exos de proba/arithmetique/analyse complexe(niveau maitrise) je suis preneur aussi
merci
j'ai vu en td comment prolonger $\zeta$, on a pris l'expression par la serie pour $Re(s)>1$ on l'a multiplie par la fonction $\Gamma$, on obtient une integrale et on montre que cette integrale se "decompose" en une fonction holomorphe + une fonction meromorphe. Enfin on utilise un resultat montre plus tot : $\frac{1}{\Gamma}$ est entiere et s'annule sur les entiers negatifs. On obtient notre prolongement
J'en viens maintenant a ma question : est-ce qu'il y a plus simple et/ou plus joli pour prolonger $zeta$?
Par plus joli et plus simple j'entend par exemple le prolongement qu'on obtient sur les complexes de parties reelles >0 en additionnant la serie alternee $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n}$.
PS : les maths pour la culture c'est bien mais faut penser utile aussi donc les examens se rapprochant si quelqu'un a des exos de proba/arithmetique/analyse complexe(niveau maitrise) je suis preneur aussi
merci
Réponses
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Dans le livre de Titchmarsh {\it The theory of the Riemann-zeta function} (Oxford, 1986, 2nde édition), l'auteur présente sept preuves de l'équation fonctionnelle de $\zeta$ (ce qui est un peu que ce que tu demandes). Si tu en as l'occasion, consulte-le. L'une des possibilités est la formule d'Euler-MacLaurin.
Borde. -
bonjour
Zéta est définie par Z(x)=1 + 1/2^x + 1/3^x + 1/4^x +........
Zéta alternée est définie par Za(x)= 1 - 1/2^x + 1/3^x - 1/4^x +......
Zéta et Zéta alternée sont liées par une relation fonctionnelle valable pour x différent de 1:
Za(x)=Z(x).[1 - (1/2)^(x-1)]
depuis Euler nous savons que Zéta alternée est définie pour x variable réelle
Zéta est définie pour x > 1 (convergence de la série) ; pour obtenir le prolongement analytique de Zéta pour x < 1 sans être obligé de passer par les complexes il suffit d'appliquer la relation fonctionnelle entre Zéta et Zéta alternée
pour x=0 alors Za(0)=1/2 et Z(0)=-1/2
pour x = 2p Zéta et Zéta alternée s'expriment avec pi et les nombres de Bernoulli
pour x = 1 - 2p Zéta et Zéta alternée s'expriment simplement avec les nombres de Bernoulli
pour x=-2p Zéta et Zéta alternée sont nulles (zéros triviaux)
cordialement -
J'ai noté ta référence Borde j'essaierai de trouver ça à la bu (en esperant contrairement à d'habitude qu'il n'ait pas trop de texte à cause de mon anglais plus que limité)
Pour ce qui est d'Euler-MacLaurin ( je suppose d'ailleurs que les résultats cités par Jean Lismonde s'obtiennent avec celle-ci ) je débute tout juste avec ça et ce n'est pas le truc le plus simple qui existe a priori mais il va bien falloir que je m'y mette.
En tout cas merci et j'en profite pour relancer mon PS du premier message par la même occasion -
On peut aussi prolonger zeta à tout le plan complexe en appliquant simplement la transformée d'Euler à la série alternée.
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Il y a aussi un article en français d'une Revue de Spéciales (RMS) dans laquelle Arnaudiès et Golse étendent $\zeta$ à $\C-\{1\}$ par le biais de la formule d'Euler-McLaurin. C'est un n° de mai-juin, mais de quelle année (93 ou peu après, ça c'est sûr).
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...Fabert : lire mon message ci-dessus !
Borde. -
<< ...Fabert : lire mon message ci-dessus ! >>
<BR>
<BR>Borde : j'avais bien lu ! mais peut-être n'as-tu pas lu, de ton côté, que <SMALL>RYO</SMALL> redoutait un texte comportant trop d'anglais. Celui que je cite est en bon gaulois gauloisant.<BR> -
OK, OTAN pour moi !
Borde. -
-
Je viens de regerder ton lien B....t mais si quelqu'un peut m'eclaircir : c'est quoi le $\Delta^j$ qu'on recupere dans les sommes? Je n'ai pas trouve la definition (je precise que je n'ai jamais entendu parler de la transformation d'Euler)
fabert je n'ai pas reussi a trouver l'article dont tu parles : sur le site RMS je suis alle dans les archives et elles remontes a 2003 pas avant. Mais peut-etre faut il s'inscrire?
PS : c'est super pratique de prevenir quand on a oublier de cocher la case LATEX -
En fait c'est bon B...t j'ai vu ce que c'etait le delta (sur un lien d'un vieux post a toi d'ailleurs)
Au risque d'etre lourd, je me permes de redemander si quelqu'un a des exos ou sujets d'exam niveau maitrise en analyse complexe/arithmetique/proba
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Bonjour!
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