Fractions rationnelles

jeroM · June 2006

Bonjour,
Dans le programme de l'agrégation interne, pour le thème "Fractions rationnelles sur un corps commutatif $\K$", on voit écrit, je cite:

Exemples simples de problèmes d'élimination ; application à la géométrie.

Pourriez-vous éclairer ma lanterne, s'il vous plaît? Je ne connais pas le problème dont il est question, ni de fait les applications géométriques.

riri · June 2006

salut cherche du côté du résultant

jeroM · June 2006

Merci Riri de ta réponse.
J'ai été revoir la définition du résultant , mais il concerne 2 polynômes et pas des fractions rationnelles.
Peux-tu être plus clair ?

Chewbi · June 2006

Tiens ça me rappelle mon TER sur les bases de Groebner :-)

Tu peux aussi regarder dans cette direction, grosso modo quand on a un système x_i=p_i(t1,...,tn)/q_i(t1,...,tn), i dans [1,s], il faut multiplier chaque égalité par q_i(...), puis chercher une base de Groebner des s polynômes obtenus pour un ordre qui élimine les ti, puis supprimer les relations faisant encore intervenir les ti: tu as (modulo 2 ou 3 détails) la meilleure représentation de ton système, sans les ti.

On peut aussi prendre simplement un système d'équations, utiliser un ordre tel que X1>X2>X3..etc (par exemple), puis calculer une base de Groebner. Le résultat éliminera "le plus possible" X1, puis X2 ..etc, d'où un système triangulaire dans le cas idéal (tiens d'ailleurs regarde aussi du côté des idéaux de polynômes, variétés géométriques..etc)

Chewbi · June 2006

On m'avait conseillé le livre "Ideals, Varieties and algorithms", à l'époque; c'est écrit "undergraduate text" derrière, mais c'est excellent pour ce sujet (au moins pour le mien en tout cas ^^ je n'ai plus les noms des auteurs en tête, désolé)