Concours Général 1829
"Une surface sphérique et une surface de cylindre droit à base circulaire étant données et se coupant dans une courbe, on suppose que de tous les points de cette courbe on abaisse des perpendiculaires sur le plan passant par le centre de la surface sphérique et par l'axe de la surface cylindrique, et on demande l'équation de la courbe qui passe par tous les points où il est rencontré par les perpendiculaires, et de quelle espèce est cette courbe"? Si cela ne vous dit pas, dites-vous que c'est le premier exo du concours général 1829. Evariste (Galois) y eut un 4ème accessit.
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Réponses
euh... plein d'idées me sont venues mais toutes sont fausses... beuh...
si qqun veut bien se fendre de quelques explications, je suis preneur!
bon courage,
F.D.
J'ai regardé vite fait, à priori la courbe c'est un lemniscate.
(comme un petit noeud papillon pour ceux que ce nom intrigue)
Je verifie ma démo et l'envoie si elle confirme cette intuiton....
A+
une lemnisacate... pourquoi pas?
toutefois, la lemniscate de Bernoulli que ej visualise est toujours très symétrique, or notre situation ne l'est guère. Toutefois, il ne s'agit que de jongler avec des paramètres...
Comment peut-on trouver une lemniscate...?
On projette bien sur le plan contenant l'axe du cylindre et le centre la sphère?
Je n'y vois pas de point privilégié pouvant jouer le rôle du "centre" de la lemniscate!?
Mes dessins (pourris! lol) me montrent deux arcs de cercle...
Je vais y réfléchir (soyez patients, je ne suis qu'un pôvre probabiliste)
Bon courage,
F.D.
Sinon, ça reste le b.....
F.D.
le plan sur lequel on projette, c'est le plan qui contient le centre de la sphère et l'axe du cylindre ou le plan qui contient le centre de la sphère et perpendiculaire a l'axe du cylindre (cette seconde proposition qui n'est pas vraiment celle de l'enoncé me semble pourtant la plus logique non?
Sinon, on a deux arcs de courbes qui sont symetrique et qui se projette alors l'un sur l'autre sur une courbe d'equation du 4ème degre ??
Est ce que tu as déssiné ton cylindre traversant totalement la sphere au quel cas tu as bien deux composantes connexes ou comme moi un peu a cheval histoire d'avoir qu'une seule courbe?
A+
Ca me donne encore plus envie de faire des maths dans le supérieur :-)
Pour simplifier je considère la sphère de centre $O$ et de rayon $1$ et le cylindre de rayon $r$, d'axe $//$ à $Oz$ et dont le centre sur $Ox$ a pour coordonnées $(a,0,0)$.
La courbe intersection de la sphère et du cylindre a pour équations : $$
\begin{cases} x^2+y^2+z^2&=1 \\
(x-a)^2+y^2&=r^2. \end{cases}
$$ Pour obtenir l'équation de sa projection orthogonale sur $Oxz$ (le plan passant par le centre de la sphère et par l'axe du cylindre) il suffit d'éliminer $y$ et on obtient : $\displaystyle z^2-2ax=a^2+1-r^2$ i.e. un bout de parabole d'axe $Ox$.
l'exercice devient plus interssant si on projette sur le plan passant par le centre de la spher et perpendiculaire a l'axe du cylindre...
R2 - OM(BARRE)2 = r2 - PM(BARRE)2
ou bien
OM(BARRE)2 - PM(BARRE)2 = R2 - r2.
Ainsi la différence des carrés des distances du point M à une droite et à un point est constante. La courbe en question est donc une parabole, cette propriété n'appartient qu'à ce genre de courbe.
Pour avoir son équation, prenons pour axe des x la perpendiculaire AO, et pour axe des y la droite XY. Soit AO=a.
On aura
PM(BARRE)2 = x2, OM(BARRE)2 =(x-a)2 + y2.
D'où
OM(BARRE)2 - PM(BARRE)2 = y2 - 2ax + a2 = R2 - r2.
C'est l'équation cherchée."
Evariste Galois (1829)
Notes :
1) évidemment X2 désigne "X au carré" et OM(BARRE) représente "la mesure algébrique" de OM.
2) On peut trouver une autre dém à l'adresse suivante :
http://euler.ac-versailles.fr:8080/webMathematica/reflexionpro/galois/index.xml
Elle est due à Pierre Michalak à la suite de la sortie de "Evariste Galois, le mathématicien maudit" (Coll. Génies de la science, Février 2003).
Cordialement. NV
j'ai juste une remarque complémentaire :
est-ce que l'intersection du cylindre et de la sphère est une variété?
(ce truc-là s'appelle "fenêtre de Vianni")
est-ce que quelqu'un a vu le film de vacances de Galois sur Arte lundi soir, c'est un certain Martial qui l'a réalisé, je me demandais si...?
(c bien sûr une grosse blague n'ouvrez même pas vos Télé Z à la page 100 et ne touchez pas 3000€)
amusez-vous bien (surtout Martial, la fin de l'année est là, non?)
F.D.
Merci a Verdier Norbert pour l'information.
La référence est :
http://encompass.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=cdl273&view=50&frames=0&seq=277
Cordialement. NV