Produit infini convergent vers cosinus
bonjour,
qqn aurait-il des éléments de preuve ou des liens sur la preuve de la convergence du produit infini vers cos:
$cos(x)=\prod_{k \in \Z}^{}1-\frac{x}{(k+\frac{1}{2})\pi}$
merci
qqn aurait-il des éléments de preuve ou des liens sur la preuve de la convergence du produit infini vers cos:
$cos(x)=\prod_{k \in \Z}^{}1-\frac{x}{(k+\frac{1}{2})\pi}$
merci
Réponses
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Salut,
A partir de la formule du développement Eulérien de la fonction cotangente et en considérant grosso modo les dérivées logarithmiques de sinx, tu arrives à montrer la formule du produit infini pour sinx, à savoir:
$\sin(x)= x \prod_{k \in \mathbb{Z}^{*}}(1-\frac{x}{k \pi})$
Cette démonstration peut se trouver à priori dans n'importe quel bouquin sur les fonctions holomorphes...
A partir de là, en découpant ta somme entre les pairs et les impairs, tu vas trouver:
$\sin(x)= x \prod_{k \in \mathbb{Z}^{*}}(1-\frac{x}{2k \pi})\prod_{k \in \mathbb{Z}^{*}}(1-\frac{x}{(2k+1) \pi})$
en vérifiant tout de même que chacun de tes produits converge bien .
Cette formule sécrit aussi: $\sin(x)= 2(x/2) \prod_{k \in \mathbb{Z}^{*}}(1-\frac{z/2}{k \pi})\prod_{k \in \mathbb{Z}}(1-\frac{z/2}{(k+1/2) \pi})$
Ainsi, le produit de droite est celui quetu veux et celui de gauche est $2\sin(x/2)$ et donc ton produit vaut: $\frac{\sin(x)}{2\sin(x/2)}=\cos(x)$ d'où le résultat (modulo rigueur bien sûr).
J'ai peut être commis des erreurs ou/et été trop allusif etc..., donc si quelque chose te gêne, n'hésite pas à m'en faire part.
choups -
oui bon pour allusif, je voulais plutôt dire évasif tout de même....
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encore désolé mais là ou il ya des z et il faut lire x et la formule est:
$\frac{\sin(x)}{2sin(x/2)}=\cos(x/2)$ ce qui donne bien le résultat. -
L'idee est bonne mais il manque des carres dans les formules :
On part de :
$\sin \pi z = \pi z \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{z^2}{n^2}\right)$
On utilise :
$\cos \pi z = \frac{\sin 2 \pi z }{2 \sin \pi z}$
pour arriver a :
$\cos \pi z = \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - 4 \frac{z^2}{(2n-1)^2}\right)$
en simplifiant par les indices pairs. -
Si la question etait simplement de demontrer le produit du $\cos$ a partir de celui du $\sin$ voila qui est fait.
Mais ca me semble un peu simle comme exercice ;-)
Si pour l'exercice on ne suppose pas la formule du produit du $\sin$ la methode classique pour la demontrer est en generale de passer par la derivee logarithmique du produit et de s'apercevoir que cette derniere est l'inverse de la tangente, soit :
notons $f(z) = \pi z \prod_{n=1}^{\infty} (1 - \frac{z^2}{n^2}) $
donc $ \frac{f'}{f} = \frac{1}{z} + \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{2 z}{z^2 - n^2}) = \frac{\pi}{\tan \pi z}$
mais bon il faut connaitre la formule pour la tangente ...
well, celle la pour la montrer bla bla ... regardez un cours de fonctions complexes ;-) -
Salut HPOU,
en ce qui concerne les carrés, si ils y sont pas, c'est que je fais le produit sur $\mathbb{Z}^{*}$ donc modulo un changement d'indice et en faisant les produits pour les entiers opposés on retrouve bien la formule avec les carrés pour $n \geq 1$ ... -
Vous prenez la formule d'Euler pour sin(x) et sin(2x). Vous notez que sin(2x)=2sin(x)cos(x) et vous y mettez les produits infinis donnés par la formule d'Euler. Vous simplifiez. Il reste le produit infini du cosinus.
-
bonjour Perrine
pour trouver le produit eulérien du cosinus à partir de celui du sinus
il est encore plus simple de remplacer x par pi/2 - x, c'est tout
amicalement
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