Produit infini convergent vers cosinus

Salut,


A partir de la formule du développement Eulérien de la fonction cotangente et en considérant grosso modo les dérivées logarithmiques de sinx, tu arrives à montrer la formule du produit infini pour sinx, à savoir:

$\sin(x)= x \prod_{k \in \mathbb{Z}^{*}}(1-\frac{x}{k \pi})$


Cette démonstration peut se trouver à priori dans n'importe quel bouquin sur les fonctions holomorphes...

A partir de là, en découpant ta somme entre les pairs et les impairs, tu vas trouver:

$\sin(x)= x \prod_{k \in \mathbb{Z}^{*}}(1-\frac{x}{2k \pi})\prod_{k \in \mathbb{Z}^{*}}(1-\frac{x}{(2k+1) \pi})$


en vérifiant tout de même que chacun de tes produits converge bien .
Cette formule sécrit aussi: $\sin(x)= 2(x/2) \prod_{k \in \mathbb{Z}^{*}}(1-\frac{z/2}{k \pi})\prod_{k \in \mathbb{Z}}(1-\frac{z/2}{(k+1/2) \pi})$

Ainsi, le produit de droite est celui quetu veux et celui de gauche est $2\sin(x/2)$ et donc ton produit vaut: $\frac{\sin(x)}{2\sin(x/2)}=\cos(x)$ d'où le résultat (modulo rigueur bien sûr).

J'ai peut être commis des erreurs ou/et été trop allusif etc..., donc si quelque chose te gêne, n'hésite pas à m'en faire part.


choups

encore désolé mais là ou il ya des z et il faut lire x et la formule est:
$\frac{\sin(x)}{2sin(x/2)}=\cos(x/2)$ ce qui donne bien le résultat.

Si la question etait simplement de demontrer le produit du $\cos$ a partir de celui du $\sin$ voila qui est fait.
Mais ca me semble un peu simle comme exercice ;-)

Si pour l'exercice on ne suppose pas la formule du produit du $\sin$ la methode classique pour la demontrer est en generale de passer par la derivee logarithmique du produit et de s'apercevoir que cette derniere est l'inverse de la tangente, soit :

notons $f(z) = \pi z \prod_{n=1}^{\infty} (1 - \frac{z^2}{n^2}) $

donc $ \frac{f'}{f} = \frac{1}{z} + \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{2 z}{z^2 - n^2}) = \frac{\pi}{\tan \pi z}$

mais bon il faut connaitre la formule pour la tangente ...

well, celle la pour la montrer bla bla ... regardez un cours de fonctions complexes ;-)

Vous prenez la formule d'Euler pour sin(x) et sin(2x). Vous notez que sin(2x)=2sin(x)cos(x) et vous y mettez les produits infinis donnés par la formule d'Euler. Vous simplifiez. Il reste le produit infini du cosinus.