ou est la faute!!!!!!!

tamime.yahia1 · June 2003

bonjour à tous.étape 1 : partons de l'équation suivante :
x²+ x + 1 = 0 (1)
étape 2 : écrivons cette équation sous la forme
x + 1 = - x² (2)
étape 3 : reprenons l'équation (1) et écrivons-là sous la forme
x(x+1)+1 = 0 (3)
étape 4 : remplaçons dans l'équation (3) le facteur x+1 par sa valeur trouvée par l'équation (2)
x(-x² )+1 = 0 (4)
étape 5 : soit en réécrivant cette équation (4)
-x³+1 = 0 (5)
étape 6 : ou encore x³= 1 (6)
étape 7 : d'où on en déduit la solution x = 1 (7)
étape 8 : en remplaçant cette solution dans l'équation (1) de départ, on obtient bien :
1+1+1=0 ou 3=0.
ou est la faute.

Nicolas27 · June 2003

tu cherches une solution reelle la ou il n'y en a pas !!

normal que tu trouves pas..

Bruno6 · June 2003

Le raisonnement correct se fait de la façon suivante :
 
 Admettons que l'équation <IMG WIDTH="116" HEIGHT="33" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/25456/cv/img1.png" ALT="$ X^2 + X + 1 = 0$"> ait une racine <IMG WIDTH="13" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/25456/cv/img2.png" ALT="$ x$"> alors... Tu fais le traitement que tu veux et tu en déduis <IMG WIDTH="42" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/25456/cv/img3.png" ALT="$ x = 1$">. Or <IMG WIDTH="41" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/25456/cv/img4.png" ALT="$ 3 \neq 0$"> il y a donc contradiction et l'équation n'a pas de racine.
 
 En fait, il y a une seconde erreur dans le rausonnement, c'est quand on passe de (6) à (7), il faut bien contextualiser ce passage : <IMG WIDTH="44" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/25456/cv/img5.png" ALT="$ x \in \mathbb{R}$"> donc <IMG WIDTH="42" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/25456/cv/img3.png" ALT="$ x = 1$">.
 
 Bruno

Bruno Greco1 · June 2003

jolie variante d'un thème classique, je récupère pour mes élèves de l'an prochain.
La réponse : Si on précise au début :

<< partons de l'équation suivante à une inconnue REELLE x >>

il n'y a aucune faute, bien sûr (juste un manque d'explicitation de ce que l'on fait ). C'est très formateur.

Nicolas27 · June 2003

Bruno Greco1 · June 2003

Donc
1) enlever la phrase << où est la faute >>
et la remplacer par
<< etape 9 : ce qui est impossible donc l'équation n'a pas de solution.

Imaginons maintenant que le début de l'énoncé soit "partons de l'équation suivante à une inconnue COMPLEXE x" ; alors comme dit Bruno l'étape 7 est fausse pour le coup, à remplacer par :
étape 7 : d'où on en déduit que x est l'une des trois racines cubiques de 1 : 1,j ou j^2.
étape 8 : de plus en remplaçant x par 1 dans l'équation on trouve 3=0 donc 1 n'est pas solution.
L'ANALYSE de notre équation s'achève alors sur << x=j ou x=j^2>>, et on entame alors la synthèse :
SYNTHESE: reportons chacune de ces deuxvaleurs dans l'équation, on constate qu'elles sont solutions.
CONCLUSION : l'éq a exactement deux solutions, j et j^2.

Bien sûr c'est absurde de résoudre cette équation par cette méthode, mais si Nicolas est à l'écoute et pense continuer à faire des maths l'an prochain, il verra que la démarche ANALYSE-SYNTHESE-CONCLUSION est une bonne structure de travail pour savoir ce qu'on raconte.

archimède0 · June 2003

Vous prouvez en fait que

(x solution de x^2 + x + 1 = 0 )
==>
(x solution de x^3 - 1 = 0 )

Vous ne prouvez pas l'équivalence (qui est fausse). C'est là votre erreur.

Jean-Louis BERNOU1 · June 2003

Bonjour,
Oui,au niveau de l'étape 4(passage de 3 à 4 ) on a une implication simple ,pas une équivalence.
Jean-Louis.

JJ0 · June 2003

Bonjour,

Les explications précédentes sont suffisantes pour comprendre l'erreur.
Si je peux me permettre une petite remarque supplémentaitre :
Quand on effectue des transformations sur une équation, il faut faire attention à ne pas créer des solutions en plus de celles de l'équation initiale. Si c'est le cas, lorsqu'on vérifie à postériori la validité de l'ensemble des solutions trouvées, il ne faut pas s'étonner que certaines solutions ne satisfont pas l'équation initiale : ce sont celles qui ont été ajoutées.
Voyons cela sur un exemple "caricatural" :
Soit à résoudre l'équation x²-3x+2=0.
Puisque (x²-3x+2) est égal à 0, on peut le multiplier par n'importe quel nombre, par exemple 3, ce qui donne 3x²-9x+6=0 : cela ne change rien.
On peut tout aussi bien le multiplier par (x), ce qui donne (x^3)-3x²+2x=0.
Cette relation continue à être exacte. On voit qu'elle a pour solutions x=0, x=1 et x=2. Si on reporte ces solutions dans l'équation initiale, avec x=0 on trouve 2=0 ce qui est faux. Evidemment, puisque la transformation qui a été faite a ajouté aux deux solutions initiales x=1 et x=2, une valeur x=0 qui n'avait rien à voir avec l'équation donnée.
Bien sûr, il n'est pas toujours aussi évident de s'apercevoir que l'on ajoute une solution "abérrante" lors des transformations que l'on fait subir à une équation.
Dans l'exemple amusant qui a été donné, il est clair que l'on ajoute une solution : l'équation initiale de degré 2 ne peux pas avoir plus de 2 solutions, alors que l'on arrive à une équation de degré 3 qui peut avoir 3 solutions. Alors, gare à ne pas choisir justement la solution qui a été indûment rajoutée !
En fait, les transformations qu'a subit x²+x+1=0 pour aboutir à (x^3)-1=0 reviennent au même que la multiplication par (x-1) car :
(x²+x+1)(x-1) = (x^3)-1
L'équation (x^3)-1=0 n'est pas fausse, mais on a ajouté une solution qui est celle de (x-1)=0. Par conséquent x=1 est la solution aberrante ajoutée, qui n'était donc pas dans l'équation initiale.

Fred5 · June 2003

On peut le voir de la façon suivante, on montre que l'équation (1) est équivalente au système <IMG WIDTH="172" HEIGHT="54" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/25463/cv/img1.png" ALT="$ \left\{ \begin{array}{cc} x^2+x+1=0 & (a) \\ x^3+1=0 & (b) \end{array}\right.$">, puis au trouve une solution de <IMG WIDTH="23" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/25463/cv/img2.png" ALT="$ (b)$">, le truc étant que cette solution n'est pas solution du sytème considéré.
 
 Plus simplement on a <IMG WIDTH="203" HEIGHT="33" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/25463/cv/img3.png" ALT="$ x^2+x+1=0 \Rightarrow x^3+1=0$">, et la réciproque n'est pas vérfié: une solution de <IMG WIDTH="25" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/25463/cv/img4.png" ALT="$ (a)$"> est nécéssairement solution de <IMG WIDTH="23" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/25463/cv/img2.png" ALT="$ (b)$">, et il existe des solutions de <IMG WIDTH="23" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/25463/cv/img2.png" ALT="$ (b)$"> qui ne sont pas solutions de <IMG WIDTH="25" HEIGHT="36" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/25463/cv/img5.png" ALT="$ ^(a)$">.
 
 Bonne journée
 
 Fred

Ludovic1 · June 2003

C'est $x^3-1$ mais on est d'accord.

Bruno Greco1 · June 2003

Je me permets d'insister.

D'après moi, il est important pédagogiquement d'expliquer qu'il n'y a aucune erreur dans l'enchainement présenté. La seule erreur est de demander "où la faute"puisqu'il n'y en a pas. La bonne question à poser est "que faut-il rajouter à ce fragment de texte mathématique pour en faire la preuve de quelque chose?"

Et l'important en direction des élèves est de leur apprendre à être conscients de ce qu'ils sont en train de faire (l'analyse d'une éventuelle solution) et à tirer les bonnes conclusions de leur démarche (il n'y a pas de solution). C'est l'absence de cette rédaction minimum contre laquelle il faut mettre en garde nos élèves.

Je (re)disais donc "pas d'erreur" :

1) Tel qu'il est rédigé, cet enchainement ne prétend jamais procéder par équivalence. On ne peut donc pas lui reprocher ça !

2) Au moment où on en arrive à "donc x=1" on n' "ajoute pas de solutions" du tout, au contraire on vient brillamment d'éliminer de l'ensemble des solutions possibles tous les réels sauf 1 (qui sera éliminé lui aussi un peu plus tard). Un énorme pas en avant.
C'est un peu comme si au cours d'une enquête policière on établit à un moment que le criminel est blond. On ne va pas reprocher au commissaire d'ajouter tous les blonds à l'ensemble recherché {criminel} : il vient d'en exclure tous les non-blonds !

Concrètement quand je me penche en TD par dessus l'épaule d'un élève qui vient de faire ce genre de choses et ce n'est pas du tout un cas d'école, je ne lui dis pas qu'il y a une erreur, je lui dis "très bien, que viens tu de prouver" et s'il le faut je lui fais dire ou écrire qu'il a prouvé "si x est solution, alors 0=3", d'où on doit doit très légitimement conclure sans aucune erreur à aucun stade qu'il n'y a pas de solutions.

Pardon de mon insistance, je crois que pédagogiquement c'est très dangereux de dire à un élève " tu as fait une erreur" quand il n'en n'a pas fait. Ici "tu n'as pas fait d'erreur mais tu as du mal à exploiter ton résultat, il faut que tu rédiges un tout petit peu plus le début et la fin de ta démarche".

alain2 · June 2003

Où est la faute , si on pose x + 1 =-x²
 
 x²+ x + 1 = 0
 .
 on a :<IMG WIDTH="9" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/25481/cv/img1.png" ALT="$ \,\,$">x(x+1)+1=0<IMG WIDTH="9" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/25481/cv/img1.png" ALT="$ \,\,$">ou bien<IMG WIDTH="9" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/25481/cv/img1.png" ALT="$ \,\,$">x²+ 1*(x+1)=0
 d où:<IMG WIDTH="9" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/25481/cv/img1.png" ALT="$ \,\,$"> x (-x²)+1=0<IMG WIDTH="12" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/25481/cv/img2.png" ALT="$ \,\,\,$">soit<IMG WIDTH="26" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/25481/cv/img3.png" ALT="$ \hspace{14}$"> x²-x²=0
 
 Aussi l ' équation d ' origine n apparaît plus .

Jean-Louis BERNOU1 · June 2003

Salut,
C'est un peu comme si on avait(pour simplifier à l'extrème) "x=1" d'où je déduis 1=1 et il n'y a plus d'inconnue.Mais c'est vrai.Il n'y a pas d'erreur de raisonnement.
Jean-Louis.

Ludovic1 · June 2003

Effectivement, Bruno a raison. On a fait que des implications. Il n'y a pas d'erreurs. L'erreur serait de conclure que <IMG WIDTH="12" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/25486/cv/img1.png" ALT="$ 1$"> est solution.
 
 En procédant par implication, on n'obtient qu'une famille de solutions candidates. Par exemple, en faisant comme alain, on obtient <IMG WIDTH="16" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/25486/cv/img2.png" ALT="$ \mathbb{R}$"> ce qui n'est pas très satisfaisant. Lors d'un tel raisonnement, il s'agit de réduire cette famille candidate.
 
 
 
 D'une manière analogue, une erreur que je faisait quand j'étais plus jeune lorsqu'il fallait vérifier une relation, c'était de faire des soustractions de chaque bord de l'égalité pour enfin arriver à <IMG WIDTH="41" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/25486/cv/img3.png" ALT="$ 0=0$"> sans préciser que je faisais des équivalences. C'est un peu le problème inverse. Cela dit : cette facon de faire (je ne la conseille surtout pas) n'est pas très jolie mais elle est corecte mathématiquement si on précise bien qu'on fait des équivalences.
 
 Voilou...

Nicolas DANIEL · June 2003

Bonjour à tous,
 
 Si je puis me permettre, il y a effectivement une faute de raisonnement, et elle se trouve dans le passage (6)->(7).
 
 La déduction <IMG WIDTH="49" HEIGHT="17" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/25545/cv/img1.png" ALT="$ x^3 = 1$"> entraîne <IMG WIDTH="42" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/25545/cv/img2.png" ALT="$ x=1$"> (<IMG WIDTH="13" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/25545/cv/img3.png" ALT="$ x$"> réel) n'est vraie en général que parce que <IMG WIDTH="202" HEIGHT="33" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/25545/cv/img4.png" ALT="$ x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$"> et que le second facteur n'est jamais nul pour <IMG WIDTH="13" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/25545/cv/img3.png" ALT="$ x$"> réel.
 
 Mais ici, le second facteur est nul hypothèse, ce qui permet à <IMG WIDTH="20" HEIGHT="17" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/25545/cv/img5.png" ALT="$ x^3$"> de valoir 1 sans que <IMG WIDTH="13" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/25545/cv/img3.png" ALT="$ x$"> ne vale 1... Là, en (6)->(7), se trouve la (seule) déduction abusive du raisonnement.

debed · December 2011

en fait le manque d'explication est clair puisque le systeme ainsi obtenu n'est pas défini sur R:
x + 1 = - x² (2) est defini pour x appartient a moins l'infini,-1
x(x+1)+1 = 0 (3) defini sur R*

Conclusion la solution recherché doit demeuré sur moins l'infini,-1 /////// d'ou 1 ne peut etre une solution

[Heureusement que tamime n'a pas attendu ta réponse ! AD]