Problèmes en série.
dans Les-mathématiques
Je vous propose dans ce forum de poser tous les petits problèmes mathematique comme celui des "cents prisonniers" .
Donc je vais poser le premier que je vais le classer du premier niveau (plus le niveau est élevé plus c'est dur) :
Si X + Y = 1 et X² + Y² = 2 , qu’en est-il de
$X^3$ + $Y^3$ ?
Donc je vais poser le premier que je vais le classer du premier niveau (plus le niveau est élevé plus c'est dur) :
Si X + Y = 1 et X² + Y² = 2 , qu’en est-il de
$X^3$ + $Y^3$ ?
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Réponses
Domi
Bien joué certes ce n'était pas assez dur .
Explique comment tu as trouvé ?
NB: En donnant la solution d'un problème expliquez comment vous l'avez trouvé ?
Ne pas poser plusieurs problèmes à la fois
x^3 + y^3 = 1/2 * ( ( x + y )^3 - 3 * ( x² + y²) ( x + y ) )
$x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=1+1,5=2,5$ .
Domi
On se donne trois réels $a$ , $b$ et $c$ tels que $b^2-4ac\geq 0$ montrer qu'alors $a+b+c \leq\frac{9}{4}Max\{a;b;c\}$ .
Question subsidiaire , interprétation géométrique quand $a$ , $b$ et $c$ sont positifs .
Domi
Donc si tu pouvais m'aider ça me ferait plaisir.
Sans donner la réponse.
je pense qu'il est assez difficile
Bonne chance !!!
Ca revient à prouver les 3 inegalites suivantes:
a+b+c<=9a/4
a+b+c<=9b/4
a+b+c<=9c/4
$a\leq \min(b,c) \Leftrightarrow a\leq b \,\, et \,\, a\leq c$
$a\leq \max(b,c) \Leftrightarrow a\leq b \,\, ou \,\, a\leq c$
Si l'un des a , b ou c est négatif c'est facile .
Si a , b et c sont positifs :
1°) Si $b\geq\frac{4}{5}(a+c)$ facile aussi .
2°) Si $b\leq\frac{4}{5}(a+c)$ , considérer un triangle de hauteur $b$ coupant la base en deux segments de longueurs $2a$ et $2c$ .
Domi
allez, je donne la réponse (et c'est vrai qu'elle est difficile.. du moins, c'est mon avis) :
$1296=\sqrt{\sqr[\dfrac{1}{2^{\sqrt{9}}}]{6}}$
$1296=\displaystyle\sqrt{\displaystle\sqrt[1/2^{\sqrt{9}}]{6}}$
c'est bien la première fois que je vois \LaTeX ne pas donner un résultat satisfaisant... si quelqu'un peut faire mieux...
Ton expression est-elle :
$$1296=\displaystyle\sqrt{\displaystle\sqrt[\frac{1}{2}^{\sqrt{9}}]{6}} = 6^{1/(2^{\sqrt 9}+1)} = 6^{\frac{1}{2^{\sqrt 9}+1}} $$ Alain
et le 8 il l'écrit $\displaystyle 2^3=2^{\sqrt{9}}$
Car $\dfrac{1}{2^{\sqrt{9}}}=1/8$ puis $\displaystle\sqrt[\frac{1}{2}^{\sqrt{9}}]{6}=6^8=1679616$ et en prenant la racine carrée, on obtient $1296$
Une remarque à propos de ton message du 12-15-06 19:51.
Pour $S_n = X^n + Y^n $, on peut montrer la relation récurrence
$S_{n+2} = S_{n+1}+(\frac{1}{2})S_n $
avec $S_0= 2$ et $S_1= 2$,
ce qui permet retrouver la solution donné par Domi.
N.B. En ce qui concerne cette méthode je dis encore une merci à georgesZ qui dans son message du 11-28-06 13:06 cf. :
\lien{http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=337314&t=337314}
m’a rappelle l'efficacité de cette méthode élémentaire et bien connue mais qu’on a tendance oublier …
Sincèrement,
Galax
Bon maintenant je vais trouver des problème sur des autres sites et meme si vous trouver la réponse sur un site essayer de chercher jouer le jeu .
Maintenant je vais vous en poser un autre:
Vous êtes devant Roro et Crouté. Ils sont jumeaux, l'un dit toujours la vérité, et l'autre ment toujours. Comment les distinguer en posant une seule question????
je sais que ce n'est pas mathématique mais c'est interressant je pense !!!
Bonne chance.
Bon maintenant je vais trouver des problème sur des autres sites lol et meme si vous trouver la réponse sur un site essayer de chercher jouer le jeu .
Maintenant je vais vous en poser un autre:
Vous êtes devant Roro et Crouté. Ils sont jumeaux, l'un dit toujours la vérité, et l'autre ment toujours. Comment les distinguer en posant une seule question????
je sais que ce n'est pas mathématique mais c'est interressant je pense !!!
Bonne chance.
Bon maintenant je vais trouver des problème sur des autres sites lol et meme si vous trouver la réponse sur un site essayer de chercher jouer le jeu .
Maintenant je vais vous en poser un autre:
Vous êtes devant Roro et Crouté. Ils sont jumeaux, l'un dit toujours la vérité, et l'autre ment toujours. Comment les distinguer en posant une seule question????
je sais que ce n'est pas mathématique mais c'est interressant je pense !!!
Bonne chance.
amicalement
le menteur répondra forcément Non
l'autre répondra forcément Oui
exemple : "est ce que 1+1=2 ?"
le menteur répondra NON
et l'autre répondra OUI
J’ajoute un petit problème dans cette série de problèmes :
Deux joueurs jouent remplacent chacun à son tour une * par un nombre complexe dans le système suivant :
*+ *+ *+ *+ *+ *+* = *
*+ *+ *+ *+ *+* = *
*+ *+ *+ *+* = *
*+ *+ *+* = *
*+* +* = *
*+* = *
* = *
Quel joueur peux avoir une stratégie gagnante ? Décrire sa stratégie !
Sincèrement,
Galax
Je suis désolé.
En effet : Le but du jeu est avoir les 7 égalités.
Sincèrment,
Galax
Il manque sûrement une donnée à ce problème .
Domi
Le fait que les nombres soit complexes ne joue aucun rôle.
En effet, tu as raison mon énoncé est peu clair.
Merci me l’avoir précisé.
**************
Je reformule mieux ce problème :
Deux joueurs jouent remplacent chacun à son tour une * par un nombre entier arbitraire dans le système suivant :
*+ *+ *+ *+ *+ *+* = *
*+ *+ *+ *+ *+* = *
*+ *+ *+ *+* = *
*+ *+ *+* = *
*+* +* = *
*+* = *
* = *
Quel jouer peux obtenir qu’à la fin du jeu toutes les 7 égalités soient vérifiées?
Décrire sa stratégie !
Sincèrement,
Galax
Sinon j'ai un autre jeu.
Il y a deux joueurs, disons, Jean et Pierre.
Soit n un entier $\geq 12$
n entiers consécutifs sont inscrits sur une feuille.
Chaque joueur à son tour barre un nombre.
Le jeu s'arrête lorsqu'il reste 2 nombres.
Pierre a parié qu'il restera 2 nombres premiers entre eux.
Paul parie qu'ils ne seront pas premiers entre eux.
Si n est pair, donner une stratégie à Paul pour gagner quel que soit celui qui commence.
Si n est impair, donner une stratégie à Pierre pour gagner en commençant le premier.
Il me semble que c'est une simple histoire de parité , le joueur qui a un nombre impair de lignes avec un nombre impair de "trous" peut fournir à son adversaire un nombre pair de lignes avec avec un nombre impair de "trous" ( il complètera en priorité une ligne avec un seul trou ) et donc gagne . Dans le jeu proposé celui qui commence gagne .
Domi
1°) Valeur de $x^3+y^3$ .
2°) $a+b+c\leq \frac{9}{4}Max\{a;b;c\}$ .
3°) 1296 .
4°) Un seul menteur .
5°) Astérisques à compléter .
6°) 12 entiers consécutifs .
Domi
Merci d'avance .
Domi
Oui Domi, c'est la même solution que j'ai trouvé.
Sincèrement,
Galax
7) quel est le plus petit angle ,exprimé en nombre entier de degrés, qui soit constructible à la règle et au compas ? (1,2,3,4,5,6,7,8,9,...?)
question subsidiaire : comment le construire ?
Tu as raison domi j'ai enfreint cette règle.
Donc je vais poser le 8ème :
8) Dans un laboratoire, dix bouteilles identiques censées être remplies de comprimés d'un produit A sont rangées sur une étagère. Chaque comprimé pèse 1g. Mais une boîte de comprimés B, à la forme exactement identiques, mais pesant 0,9g, s'est mélée. On dispose d'une balance de précision, au décigramme près. Combien vous faudra-t-il de pesées pour déterminer la bouteille aux comprimés B??
Domi
Problème 8)
Une seule pesée suffit !
On numérote des bouteilles 1 à 10
on prend n comprimés de la bouteille n° n
et on pèse tout ... et le résultat permet de déduire le n° de la "fausse bouteille "
Sincerement,
Galax
En faite ,le problème, c'est de construire l'angle le plus petit avec une règle et un compas en connaissant l'angle qu'on a construit.
C'est a dire que si on trace avec une règle et un compas une bissectrice d'un angle droit alors on a un angle de 45° mais sans le mesurer avec un rapporteur .
Car on peut construire tous les angles avec une règle et un compas mais sans connaitre l'angle c'est a dire qu'on doit le mesurer avec un rapporteur.
Donc ai-je bien compris bs?
Je pense que tu as faux mais je n'ai pas très bien compris donc si tu pouvais développer ça me ferait plaisir mais à ce que j'ai compris tu as faux.
petit problème rigolo rapide :
9) Quelle est la parité du nombre de personnes qui ont serré un nombre impair de poignées de mains ?
D’abord un exemple:
je suppose que la fausse bouteille est n° 3.
Dans ce cas là le résultat de la pesée R est 54,7 gr (on a 55 comprimés au total dont 52 à 1 gr et 3 à 0,9 gr )
En général, 10* ( 55 – R) désigne la bouteille avec des " faux " comprimées ... ce qui se montre très facilement.
NB il est important d'atribuer un n° à chaque bouteille §
Sincèrement,
Galax
les 2°) 6°) et 7°) restent à finir avant de lancer un 10°)
Domi
PS : merci au modérateur qui a remis de l'ordre dans mon précédent message.
[A ton service
7) Pour construire 3°, on peut tracer dans un même cercle de centre O un pentagone A0A1A2A3A4 régulier et un hexagone A0B1B2B3B4B5 régulier ayant le sommet A0 en commun puis diviser l'angle A1OB1 en 16 en tracant moult bissectrices.
Pour montrer qu'on ne peut pas faire mieux, il faut montrer que 1° n'est pas constructible (car si 2° l'était alors 1° le serait aussi)... et même si j'ai une petite idée de la façon de procéder, j'ai plutôt la flemme de chercher.
5) galax, soit ton problème est archi simple et Domi y a répondu... soit personne ne l'a compris.
je propose une autre solution concernant l'enégalité de Domi là c'est sandrine_guillerme .
Si a et c sont de signe contraire (par exemple a > 0 et c < 0), b² - 4ac >= 0 est toujours satisfait.
Si b > a, b est forcément > 0 alors :
max(a,b,c) = b
Comme a et c sont de signe contraire (avec a > 0) , a + c < a
Avec b > a , on a alors : a + c < b
et a fortiori a + c < (5/4).b
Or pour avoir : a + b + c > (9/4).b , il faudrait :
a + c > (5/4).b , c'est donc impossible.
Conclusion:
Si a et c sont de signe contraire et b plus grand que a et b, on a a + b + c <= (9/4).max(a,b,c)
---
Si a et c sont de signe contraire (par exemple a > 0 et c < 0), b² - 4ac >= 0 est toujours satisfait.
Si a > b, alors max(a,b,c) = a
Pour avoir a + b + c > (9/4)max(a,b,c), il faudrait que: a + b + c > (9/4).a
soit b + c > (5/4).a
Comme c est négatif, on a: b + c < b
--> Il faudrait b > (5/4).a, soit b > a , ce qui est contraire à l'hypothèse.
Conclusion :
Si a et c sont de signe contraire et a plus grand que b et c, on a a + b + c <= (9/4).max(a,b,c)
---
En regroupant les résultats, on trouve:
Si a et c sont de signe contraire, on a a + b + c <= (9/4).max(a,b,c)
Il reste à envisager le cas avec a et c de même signe.
<BR>
<BR>1) le triangle équilatéral, donc un angle de 60 degrés, puis, par bissection, les angles de 30, 15 et 7,5 degrés.
<BR>
<BR>2) le pentagone, donc un angle de 72 degrés, puis, par bissection, les angles de 36, 18 et 9 degrés.
<BR>
<BR>Par différence des angles de 18 et 15 degrés, on construit un angle de 3 degrés.
<BR>
<BR>Si l'on pouvait faire plus petit, soit directement 1 degré, soit 2 degrés, d'où par différence 3-2 = 1 degré malgré tout, on pourrait, par addition construire tout angle d'un nombre entier de degré, en particulier 40 degrés, donc un ennéagone, dont il est bien connu que c'est impossible.<BR>