Problèmes en série.

Visiblement, Corentin ne connaissait pas, et comme c'est une vague vieille connaissance, je me suis permis de lui faire un clin d'oeil.
Je ne suis pas ce fil, c'est le fait de voir Corentin s'y intéresser qui a titillé ma curiosité.

Bonjour,

Voici une question ammusante:

Problème 21

Existe-t-il une suite de 1000 naturels concécutifs ayant parmi eux 4 nombres premiers exactement?

Sincèrement,

Galax

PS Problème 20 de GeorgesZ est très interessant... et vaut bien un détour

Bonjour,
je remonte ce fil.

Domi,notre but commun est de progresser et de donner, si possible, une réponse correcte à toute question posée. Merci de confirmer ce que j'ai écrit (je ne suis pas infaillible, loin de là).

Galax, je ne vois pas du tout comment répondre à ton Pb.n° 21. Cela me semble lié aux questions posées (pas très clairement) par Alibri ces jours-ci.

Pour le Pb.n°20, j'aimerai voir la preuve sans Dirichlet, donnée dans Quadrature...

Amicalement,
Georges

Bonjour,
un petit tour sur ce fil:

Galax: Dans Sierpinski: $26$ est le nombre maximal de nombres premiers pouvant apparaître dans une suite de $100$ nombres entiers consécutifs; cette situation ne se produit qu'une seule fois : de $2$ à $101$. J'ai fait , (en regardant de temps à autre le corrigé ), cet exercice. Pour tout intervalle, sa méthode est généralisable , mais plutôt fastidieuse.

Amicalement.

Rebonjour,
Galax, oui ton Pb.21 est assez simple (une fois vues tes indications) à un détail près.

Soit (p(n)) la suite des nombres premiers (2,3,5,..) il existe n (n=69) tq 997<p_(n-1)<1000<p_(n)=1009.

On considère Q=Prod(p(k),k=1..n) alors l'intervalle [Q-p(n)-1,Q-2] ne contient aucun nombre premier et est de longueur p(n)>1000.
Soit k tq. p(k)<Q-p(n)-1<p(k+1).

Si p(k)-p(k-3)<=1000, l'intervalle [p(k-3), p(k-3)+999] contient exactement 4 nombres premiers.

Sinon, si p(k+4)-p(k+1)<=1000, l'intervalle [p(k+4)-999, p(k+4)] contient exactement 4 nombres premiers.

Sinon, on peut considérér le plus petit q tq.[q, q+999] ne contient aucun nombre premier et faire de même en espérant une de ces conditions vérifiées...

Ce "détail" m'embête...

Amitiés,
Georges

Bonsoir Galax,

D'abord 999!+1 est-il composé?

Oui je me suis compliqué la tâche, on glisse vers la gauche (ou la droite) jusqu'à ce que l'on ait dans l'intervalle de longueur 1000, 4 nombres premiers exactement.

PS. Ma méthode pour trouver un intervalle de longueur 1000 sans nombre premier donne un intervalle plus à gauche que la tienne [1001!+2, 1001!+1001] (ou mieux [1001!-1001,1001!-2]).

J'attends une solution du Pb. 20 (énoncé à rectifier par "1km au minimum chaque jour").

Bonjour,
Je récapitule sur le Pb.21 et en profite pour essayer d'écrire en Latex.

D'abord, Galax comment fais-tu pour modifier ton message du 22/02/07 20:45, le 23/02/07 01:51 ?

Soit $N\geq 1$. Pour $n\geq 1$, soit $\pi_N(n)$ le nombre de nombres premiers dans l'intervalle $[n,n+N]$. Soit $\pi_N= Max_{n\geq 1} \pi_N(n)$ (qui est $\geq 1$) et $m_0$ (minimal) tel que $\pi_N(m_0)=\pi_N$.

Soit $n$ tel que $\pi_N(n)=0$. Il existe $q_1,..,q_s$ nombres premiers distincts tels que $\forall k \in [0,N], \exists i \in [1,s]$ tel que $q_i\mid n+k$ (donc $q_i\neq n+k$). Soit $Q=q_1..q_s$, alors $\forall t \in \N, on a \pi_N(n+tQ)=0$.

Alors, $\exists t \in \N, tel que n_0=n+tQ>m_0$ et, en considérant les $n \in [m_0,n_0]$, on obtient :

$\forall p \in [0,\pi_N],\exists n_p \in [m_0,n_0], tel que \pi_N(n_p)=p$.

Amicalement,
Georges

PS. J'ai appuyé sur "Aperçu", après avoir appuyé sur "..contient du Latex", et cela m'a redonné le message codé la case "..contient du Latex" non cochée...

Alors advienne que pourra.

Bonjour Galax,
Merci, je vais essayer de m'enregistrer sur le Forum.

J'avais des pbs. pour lire Latex avec Internet Explorer sur mon I-Mac. Puis je n'arrivais même plus à lire le nouveau Forum. J'utilise maintenant Netscape 7.02 et tout marche!

{\bf Pb. n°22. Soit $(u(n))$ une suite définie par $u(0)=2, u(1)=10/3$ et $u(n+1)=u(n)(u(n-1)^2-2)-10/3$. Calculer $E(u(n))$.}

Pour le Pb.21,

Notre expert Borde m'a signalé que, avec mes notations, on a $\pi_N(n)=\pi(n+N)-\pi(n-1)$ et que Rosser et Schoenfeld ont prouvé en 1962 que l'on a, pour $x\geqslant 17$,

$\frac{x}{\ln(x)}\leqslant \pi(x) \leqslant \frac{1,25506 x}{\ln(x)}$

(Voir (3.7) p.68 de son livre)

d'où, pour $n\geqslant 18$,on a

$\pi_N(n)\geqslant \frac{n+N}{\ln(n+N)} -\frac{1,25506 (n-1)}{\ln(n-1)}$

Pour $N=999$, cela donne, si $n \leqslant 3260$, $\pi_N(n)\geqslant 4,0017924$

Amitiés,
Georges

PS. Je copie la façon de mettre en gras par Borde.

Salut Georges,

Revenons un instant sur ce problème 21, dont un énoncé équivalent est de résoudre dans $\N^{*} - \{1 \}$ l'équation $\pi(n+999) - \pi(n) = 4$ (ie. déterminer un intervalle du type $]n,n+999]$ d'entiers contenant {\it exactement} $4$ nombres premiers).

Heuristiquement, on peut se fonder sur la conjecture suivante stipulant que, lorsque $y <x$ sont suffisamment grands, alors on a $\pi(x+y) - \pi(x) \sim y / \ln x$, ce qui laisse supposer, si ce résultat était vrai (et je pense personnellement qu'il l'est) qu'il y a peu de chances de rencontrer de tels intervalles, du moins dans les grandes valeurs de $n$. A l'heure actuelle, on a démontré, à l'aide de majorations de grand crible, que, pour tout $x,y > 2$, on a $\pi(x+y) - \pi(x) < 2y/\ln y$ (Montgomery & Vaughan, 1973). Dans une autre direction, Baker et Harman ont récemment obtenu $\pi(x+y) - \pi(x) \asymp y / \ln x$ pour $y=x^{0,535}$.

Ces résultats utilisent des mathématiques (très) profondes. Sans aller jusque là, on peut utiliser des encadrements type Rosser & Schoenfeld (qui ne {\bf sont pas} élémentaires), mais un peu plus fins, comme ceux obtenus dans le même esprit par Dusart dans sa thèse. Supposons d'ores et déjà que $n \geqslant 3000$, disons, puisque, d'après le message précédent de Georges, l'équation ne peut avoir de solution si $n < 3000$. Dans cette zone, on peut par exemple utiliser l'encadrement : $$\frac {x}{\ln x} \left ( 1 + \frac {1}{\ln x} \right ) \leqslant \pi(x) \leqslant \frac {x}{\ln x} \left ( 1 + \frac {1,2762}{\ln x} \right ).$$ Un raisonnement identique au tien montre alors que $\pi(n+999) - \pi(n) > 4$ tant que $n \leqslant 35575$.

Borde.

Bonjour,

Pour trouver explicitement un n tq. [n,n+999] ait 4 nombres premiers exactement, on peut utiliser le produit Q des 95 nombres premiers (de 2 à 499), et trouver prevprime(Q-500) et nextprime(Q+500), et examiner isprime(Q-1) et isprime(Q+1)...

Quelqu'un a-t-il un logiciel capable de répondre à ces commandes de Maple pour de très grands nombres comme Q+500?

Amitiés,
Georges

PS J'ai en fin résolu la mise en gras d'une partie du texte en copiant Borde.

Bonjour Galax,

Très bien. Effectivement on trouve :

$$u(n) = 3^{E_n} + \frac{1}{3^{E_n}}$$

avec $E_1=1$.

Si tu ajoutes $E_0=0$ probablement ta démo sera plus facile...

La difficulté de l'énoncé consiste à laisser entendre (faussement) que l'on ne peut pas calculer $u(n)$.

Pour trouver explicitement $[n,n+999]$ avec exactement 4 nombres premiers, la méthode que j'ai proposée utilise de trop grands nombres.

Avec Maple, j'ai trouvé $[n,n+99]$ avec exactement 4 nombres premiers, en utilisant $Q=2.3..23$ seulement (j'ai pris de moins en moins de premiers depuis 53) :

pour $n=223 092 770$ ($n+3$ est le premier premier, $n+57$ est le quatrième premier de l'intervalle et $n+99=Q-1$).

Est-ce le plus petit $n$?

Amitiés,
Georges

Bonjour GeorgesZ,

Voici le texte concernant le joueur d'échecs de la revue Quadrature analogue au Pb. 20:

Bonjour GeorgesZ,



Moi aussi je préfère la démonstration par le principe de Dirichlet, mais la démonstration de Quadrature contient des idées intéressantes, bien qu'elle concerne un problème un peu différant.



Sincèrement,

Galax

Bonjour,

Pour changer un peu, je propose un problème de géométrie:

{\bf PROBLEME 23:

Soient A, B, C, D 4 points consécutifs d'un cercle unitaire.
Si AB.BC.CD.DA $ \geq 4$, alors ABCD est un carré.}


Sincèrement,


Galax

Rebonjour,

Une indication pour le Pb. 23 : utiliser le théorème de Ptolémée.

Amicalement,
Georges

Bravo Bs,

Ca s'appelle un problème résolu rapidenet.

Alors c'est à toi proposer un autre .

>>>>> GeorgesZ, pas mal ta solution du pb 22, plus courte que la mienne
( en particulier j'aime l'emploi de l'équation caractéristique) ... mais l'idée de base est la même

Sincèrement,

Galax

41312432

Snif, snif mon Pb.24 est passé à l'as!

Quel est le PB.25?

Sans aucune rancune,

Georges

Bonjour Bs,

53141352432

est-il acceptable?

Sincèrement,

Galax

Bonjour à tous .

Pb 24 :

Une personne "B" a serré la main à huit personnes c'est à dire à toutes les personnes possible donc ces huit personnes ont serré la main à au moins une personne et c'est le conjoint de "B" qui n'a serré la main à personne . On retire "B" et sa moitié de l'ensemble des personnes ( il reste toujours "A" et son conjoint ) . Si "A" demandait à chacun combien ils ont serré de main , il obtiendrait les réponses 0,1,...,6 . Le raisonnement initial s'applique à nouveau et ainsi de suite . Au bout du compte la personne A et son conjoint ont serré la main à 4 personnes .

Domi

Pour le problème 25, on pourrait aussi demander à ce que la différence entre les indices des occurences de $i$ soit $i$ plutôt que $i+1$. On obtient alors 23243114 comme solution. Y a-t-il un lien avec l'énoncé original ?

Bonjour Domi,

Connaissais-tu le Pb.24? Si non : bravo. Quand on me l'a posé, il y a longtemps, j'ai donné ma langue au chat après avoir cherché une matinée...

BS, si le Pb.25 n'a pas de solution connue, c'est un Pb. drôlement ardu!

Puisque ce fil reprend vie, je propose un exo sur les polynômes :

{\bf Pb. 26. Soit $P\in \C[X,Y]$ de degré total $n$. On suppose qu'il existe une suite strictement croissante $(t_k)_{0\leqslant k \leqslant n}$ dans $[0, \pi]$ (sans que l'on ait $t_0=0$ et $t_n=\pi$) tq., pour $k=0,..,n$, on a $P(\cos(t_k),\sin(t_k))=0$ et $P(\cos(t_k),-\sin(t_k))=0$.
Montrer qu'il existe un $Q\in \C[X,Y]$ tq. $P(X,Y)=(X^2+Y^2-1)Q(X,Y)$.}

Bon courage,
Georges

Je m'aperçois que la réponse n'est pas seulement brouillone mais fausse, je réfléchis un peu pour voir si c'est corrigeable, sinon mea culpa

--
Ayman

Bonsoir Claude,

Refléchit aussi au Pb. 25 de bs, tu apporteras peut-être une réponse à l'une de ses questions...

Le Pb. 26 est attribué à Pelczinski m'a-t-on dit (je l'ai un petit peu compliqué).

Pour le Pb.23, la démo par Ptolémée est jolie. Développe la tienne par la trigo.

Amicalement,
Georges

Bonjour,

Galax: d'accord; provenance de ce pb 23 ? merci.

Pour tous, suis intéressé pour savoir comment démontrer que le pb de Langford ( cf: pb 25 ) n'a de solutions que pour
$n \equiv 0 [mod (4) ]$ ou $n \equiv -1 [mod (4) ]$ .
merci à tous(tes).

Message pour GeorgesZ: etes-vous sûr du $n$ dans l'énoncé ?. Pour $n=1$ cela voudrait dire que le polynôme est forcément nul, et je ne crois pas que ce soit vrai. Je crois même qu'il y a un résultat disant que tout poly trigo de degré $n$ à $2n+1$ racines ou quelque chose du genre. Enfin tout ça pour dire que je n'ai réussi à prouver l'exercice que dans le cas où on a l'existence de $\textbf{2n+1}$ réels $t_k$
Je suis presque sûr qu'il y a plus simple que ma preuve mais bon, je m'ententais à vouloir la faire de manière "générique". Voilà ce que ça donne, pour les lecteurs patients:
Bon cette fois-ci je crois que c'est la bonne. On pourra dire que j'ai galéré pour la faire cette démo.
Je répète l'énoncé:\vspace{2mm}\\
\textbf{Proposition:}\\
\textbf{Soit $P$ un polynôme de $\C[X,Y]$ de degré total $n$. On suppose l'existence de $2n+1$ réels distincts: $(t_j)_{1 \leq j\leq 2n+1} \in ]0,\pi[$ tels que:
$$P(\cos(t_i),\sin(t_i))= 0$$
Montrer que $P$ est divisible dans $\C[X,Y]$ par $(X^2+Y^2-1)$.}
\vspace{0.8cm}\\
On identifie $\C[X,Y]$ à $\C[X][Y]$ qu'on injecte dans $\C(X)[Y]$.\\
On va remonter encore un cran plus haut en considérant l'extension quadratique ${\cal C} = \C(X)[\sqrt{1-X^2}]$.\\
Tout élément de cet extension s'écrit: $C(X)=A(X)+B(X)\sqrt{1-X^2}$, où $A$ et $B$ sont des fractions rationnelles. Dans le cas où $A$ et $B$ sont des polynômes, l'élément $C(X)=A(X)+B(X)\sqrt{1-X^2}$ est dans $\C[X][\sqrt{1-X^2}]$ et peut-être identifié à la fonction:
\begin{eqnarray*}
C(x): ]-1,1[ &\longrightarrow& \C \\
x &\longmapsto& A(x) + B(x)\sqrt{1-x^2}
\end{eqnarray*}
via le morphisme d'évaluation (où $A(x)$ et $B(x)$ représentent les évaluations de $A$ et $B$, en tant que polynômes). Pour vérifier que cette identification est licite il suffit de montrer que si la fonction précédente est nulle, il en est de même pour l'élément $C$ de ${\cal C}$. Cela revient à constater que l'on a pour tout $x \in ]-1,1[$ l'égalité $B(x)^2(1-x^2)=A(x)^2$, d'où l'égalité polynômiale $B(X)^2 (1-X^2) = A(X)^2$. Si $B$ était non nul cela voudrait dire que $(1-X^2)$ possède une racine dans $\C(X)$, ce qui n'est pas (étudier les dérivées pour le voir). Donc $B$ est nul et donc $A$ et $C$ aussi.\vspace{2mm}\\

A partir de maintenant on travaille dans l'algèbre ${\cal C}[Y]$.\\
Dans cet algèbre $P(X,\sqrt{1-X^2})$ et $P(X,-\sqrt{1-X^2})$ ont un sens et on va montrer que ces deux éléments sont nuls.\\
En séparant les termes de degrés pairs en $Y$ et ceux de degrés impairs, $P$ s'écrit:
$$P(X,Y) = {\sum_{0 \leq k+2l \leq n}{a_{k,l}X^k Y^{2l}} + Y\left(\sum_{0 \leq k+2l \leq n-1}{b_{k,l}X^k Y^{2l}}\right)}$$
Ainsi
\begin{eqnarray*}
P(X,\sqrt{1-X^2}) &=& A(X) + \sqrt{1-X^2}B(X)\\
P(X,-\sqrt{1-X^2}) &=& A(X) - \sqrt{1-X^2}B(X)
\end{eqnarray*}
Où les polynômes $A$ et $B$ sont donnés par:
$$A(X)=\sum_{0 \leq k+2l \leq n}{a_{k,l}X^k (1-X^2)^l }$$
et
$$B(X) = \sum_{0 \leq k+2l \leq n-1}{b_{k,l}X^k (1-X^2)^{l}} $$
et sont donc de degrés respectivement majorés par $n$ et $n-1$.\\
D'après la remarque précédente on est en mesure d'évaluer $P(X,\sqrt{1-X^2})$ en les $2n+1$ points $\cos(t_i)$ et on obtient $0$ à chaque fois (c'est la propriété supposée sur $P$). Par ailleurs
$$P(X,\sqrt{1-X^2})P(X,-\sqrt{1-X^2})=A(X)^2 + (1-X^2)B(X)^2$$
est un polynôme de degré au plus $2n$ possédant $2n+1$ racines. C'est donc le polynôme nul. ${\cal C}$ étant un corps, $P(X,\sqrt{1-X^2})=0$ ou $P(X,-\sqrt{1-X^2})=0$. Il vient alors $A(X)=B(X)=0$ (car $\sqrt{1-X^2} \notin \C(X)$..) et donc $$P(X,\sqrt{1-X^2})=P(X,-\sqrt{1-X^2})=0$$
On revient au polynôme de base $P(X,Y)$ en tant qu'élément de ${\cal C}[Y]$. Il s'annule en $\pm \sqrt{1-X^2}$ donc est divisible par
$$(Y-\sqrt{1-X^2})(Y+\sqrt{1-X^2})=(X^2+Y^2-1).$$

Voilà. Je vais voler la signature de quelqu'un:

En espérant ne pas avoir dit trop de conneries..

--
Ayman