Problèmes en série.
Réponses
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Domi,
voici une tentative de formulation d'une stratégie:
B joue à une extrémité du grand intervalle;
ensuite son but est
créer après chaque tour de A un sous intervalle "pair"(aussi long que possible) bordé par A à une extrémité et par B à l'autre.
Il est clair que si dans ce cas-là A joue à l'intérieur d'un tel sous-intervalle B a une réponse "gagnante" dans ce sous-intervalle....
Dans le cas d'apparition d'un sous-intervalle du type AxxxxxxxA B joue AxxxxxxBA ou bien AxxxxxBxA où le sous-intervalle bordé par A et B est paire...sauf si l'e sous-ntervalle crée par A est AxA ou Axx qui donne une place sûre à B
Dans le cas de sous-intervalle AxxxxxxxxxB ( resp. BxxxxxxxxxxxA) B joue AxxxxBxB ou bien AxxxxxxBxxA afin d'obtenir un sous-inetvalle paire bordé par A et B à noter que dans ce cas là il crée une autre place sûr pour A mais compensé par une de place voisine de A central .... sauf dans la cas de sous-intervalle initial AxB ou AxxB, où B peut jouer ailleurs ...
(x= place non occupée)
Ainsi progressivement A doit s'approcher vers le A central où B dispose une place de plus que A......
................
la rédaction est à améliorer ....
Domi est-tu d'accord avec cette idée?
Sincèrement,
Galax
complément 21h00:
Une autre stratégie pour B
B joue tant que c'est possible la case symétrique dans le grand intervalle
Si dans le cas xx..............xB
A joue Ax ... xB ou bien xA ... xB
B commence appliquer la règle
créer après chaque tour de A un sous intervalle "pair"(aussi long que possible) bordé par A à une extrémité et par B à l'autre. dont une extrémité est A qui vient être joué par A
cependant sur le sous-intervalle central "maximal" bordé par A et B obtenue avant le coup asymétrique de A : B continu d'appliquer la méthode de symétrie....
ainsi le problème se réduit à l'étude de de AxxxxxxxB de longueur inférieur que n initial
comme pour n = 3 B a une stratégie gagnante......
................................................................. -
bonjour Domi,
j'ai trouvé une
nouvelle stratégie très simple
A joue où il veux
B joue à une des 2 extrémités de l'intervalle ( une est forcement jouable dès que n >1)
Ainsi A à chaque coup crée un seul et un seul intervalle bordé par deux A , B peut toujours jouer dans un tel intervalle.
Sincèrement,
Galax -
Très joli Galax (tu)
j'étais un peu perdu avec tes précédentes solutions mais là c'est limpide et sans conteste .
Domi -
Salut Domi,
Oui la dernière solution est celle que je préféré moi aussi...
mais je l'ai trouvé en regardant mes brouillons avant les jeter ....
MORALITÉ: ne jetez pas trop vite vos brouillonss !!!
Voici le
problème 49
Soient n² points placés dans un carré de coté 1
Montrer qu'il existe ligne brisée joignant ces points de longueur inférieur à
a) 3n
b) 2n
c) pour quel k < 2 est-il possible construire une telle ligne de longueur < kn ? -
galax, juste un precision pour ton probleme: quand on parle d'une ligne brisee joignant ces points, c'est par exemple un chemin que l'on pourrait tracer sans lever le crayon et qui joindrait tous ces points ? (ou est ce que l'on peut faire des choses plus exotique comme quelquechose ressemblant a un arbre ? (arbre couvrant minimal du graphe complet ayant tous ces points pour sommet)
-
pb 49:
une strategie tres naive qui atteint une longueur $< (1+\sqrt{2})n$:
on decoupe le carre unite en $n^2$ sous carres egaux (en damier) $C_1, C_2, \ldots, C_{n^2}$, et on appelle $O_1, O_2, \ldots, O_{n^2}$ les centres de ces carres. La distance entre $O_k$ et $O_{k+1}$ vaut toujours $\frac{1}{n}$.
On suppose, quitte a faire un changement infinitesimal, qu'aucun point est sur une frontiere d'un des carres. On part de $O_1$, ce carre contenant $k_1$ points. On relie $O_1$ a un des points et on revient en $O_1$: cela fait une distance inferieure a $\leq \frac{\sqrt{2}}{n}$. Donc pour joindre tous les points dans $C_1$, en partant de $O_1$ et en arrivant en $O_1$, on parcourt une distance $\leq k_1 \frac{\sqrt{2}}{n}$. Ensuite on va on $O_2$ en parcourant une distance $\frac{1}{n}$.
Au total on parcourt une distance
$D \leq (n^2-1)\frac{1}{2} + (k_1+k_2+\ldots+k_{n^2}) \frac{\sqrt{2}}{n} < (1 + \sqrt{2})n$ -
salut alekk,
Pour moi,
une lignée brisée est constitue de segments que l'on pourrait tracer sans lever
le crayon et qui joindrait tous ces point sauf les 2 points extrêmes
Pour la définition formelle voir par exemple:
http://les-mathematiques.net/a/a/b/node23.php3
http://fr.wikipedia.org/wiki/Ligne_polygonale.
Ton idée sur des choses exotique est un prolongement intéressant de ce problème.
Sinon, j'ai mis la question a) car elle a une solution plus simple que b)
Bon courage
Sincèrement,
Galax -
Salut Alekk,
Je précise encore que les "sommets" de la ligne brisée en question ne sont que des
points donnés au départ.
Sincèrement,
Galax -
Bonjour,
Une indication pour le problème 49 a
On pourrait découper le carré initial en n rectangles de cotes 1 et 1/n.
Sincèrement,
Galax -
Bonjour,
je vois que le problème 49 n'intéresse pas de foules
Peut-être celui-ci vous plaira plus
PROBLÈME 50
Combien de tickets numérotes de 000 000 à 999 999 ont la somme de trois premières chiffres égale à la somme de trois dernières chiffres
Bon courage
Galax -
Bonjour,
Une indication pour le problème 50:
Une solution de ce problème peut utiliser le fait que
Le nombre de tickets dont la somme de trois premières chiffres égale à la somme de trois dernières chiffres est le même que le nombre de tickets dont la somme de six chiffres est 27.
Bon courage
Galax -
Un petit retour sur les problèmes 29 et 32 .
J'ai récupéré
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Bonjour!
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