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Problèmes en série.

Envoyé par emre54 
Re: Problèmes en série.
il y a onze années
avatar
Salut Domi,

Juste une observation:

Si n = 1 c'est A qui gagne

Pour les autres n impairs j'ai regardé quelques petites valeurs et j'ai trouvé, une stratégie gagnant pour B (pour ces n ) sans trouver une stratégie générale

On peut constater que si A joue au milieu il "donne" à B deux cases sûres, donc B a tout intérêt jouer jouer en donnant le mois de cases sûres à A tout en gardant ces cases sûres le plus long temps possible....



à suivre


Domi, as-tu une solution?

d'où vient ce problème?


Sincèrement,


Galax
Re: Problèmes en série.
il y a onze années
avatar
Je crains que de ne pas être positif Galax :D

J'ai découvert ce jeu sur un autre forum , sans solution ( c'est sûrement un exercice d'olympiade ) . Je suis comme toi convaincu qu'hormi le cas n=1 , le deuxième joueur est toujours gagnant mais je n'arrive pas à formuler clairement sa stratégie .

Domi
Re: Problèmes en série.
il y a onze années
avatar
Domi,

voici une tentative de formulation d'une stratégie:

B joue à une extrémité du grand intervalle;
ensuite son but est
créer après chaque tour de A un sous intervalle "pair"(aussi long que possible) bordé par A à une extrémité et par B à l'autre.
Il est clair que si dans ce cas-là A joue à l'intérieur d'un tel sous-intervalle B a une réponse "gagnante" dans ce sous-intervalle....

Dans le cas d'apparition d'un sous-intervalle du type AxxxxxxxA B joue AxxxxxxBA ou bien AxxxxxBxA où le sous-intervalle bordé par A et B est paire...sauf si l'e sous-ntervalle crée par A est AxA ou Axx qui donne une place sûre à B

Dans le cas de sous-intervalle AxxxxxxxxxB ( resp. BxxxxxxxxxxxA) B joue AxxxxBxB ou bien AxxxxxxBxxA afin d'obtenir un sous-inetvalle paire bordé par A et B à noter que dans ce cas là il crée une autre place sûr pour A mais compensé par une de place voisine de A central .... sauf dans la cas de sous-intervalle initial AxB ou AxxB, où B peut jouer ailleurs ...

(x= place non occupée)



Ainsi progressivement A doit s'approcher vers le A central où B dispose une place de plus que A......


................

la rédaction est à améliorer ....

Domi est-tu d'accord avec cette idée?


Sincèrement,

Galax


complément 21h00:

Une autre stratégie pour B

B joue tant que c'est possible la case symétrique dans le grand intervalle

Si dans le cas xx..............xB
A joue Ax ... xB ou bien xA ... xB
B commence appliquer la règle
créer après chaque tour de A un sous intervalle "pair"(aussi long que possible) bordé par A à une extrémité et par B à l'autre. dont une extrémité est A qui vient être joué par A
cependant sur le sous-intervalle central "maximal" bordé par A et B obtenue avant le coup asymétrique de A : B continu d'appliquer la méthode de symétrie....

ainsi le problème se réduit à l'étude de de AxxxxxxxB de longueur inférieur que n initial
comme pour n = 3 B a une stratégie gagnante......

.................................................................



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a onze années et a été effectuée par galax.
Re: Problèmes en série.
il y a onze années
avatar
bonjour Domi,

j'ai trouvé une

nouvelle stratégie très simple

A joue où il veux

B joue à une des 2 extrémités de l'intervalle ( une est forcement jouable dès que n >1)

Ainsi A à chaque coup crée un seul et un seul intervalle bordé par deux A , B peut toujours jouer dans un tel intervalle.

Sincèrement,

Galax
Re: Problèmes en série.
il y a onze années
avatar
Très joli Galax thumbs down

j'étais un peu perdu avec tes précédentes solutions mais là c'est limpide et sans conteste .

Domi
Re: Problèmes en série.
il y a onze années
avatar
Salut Domi,

Oui la dernière solution est celle que je préféré moi aussi...

mais je l'ai trouvé en regardant mes brouillons avant les jeter ....

MORALITÉ: ne jetez pas trop vite vos brouillonss !!!


Voici le

problème 49

Soient n² points placés dans un carré de coté 1

Montrer qu'il existe ligne brisée joignant ces points de longueur inférieur à
a) 3n
b) 2n
c) pour quel k < 2 est-il possible construire une telle ligne de longueur < kn ?




Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a onze ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par galax.
Re: Problèmes en série.
il y a onze années
galax, juste un precision pour ton probleme: quand on parle d'une ligne brisee joignant ces points, c'est par exemple un chemin que l'on pourrait tracer sans lever le crayon et qui joindrait tous ces points ? (ou est ce que l'on peut faire des choses plus exotique comme quelquechose ressemblant a un arbre ? (arbre couvrant minimal du graphe complet ayant tous ces points pour sommet)
Re: Problèmes en série.
il y a onze années
pb 49:
une strategie tres naive qui atteint une longueur $< (1+\sqrt{2})n$:
on decoupe le carre unite en $n^2$ sous carres egaux (en damier) $C_1, C_2, \ldots, C_{n^2}$, et on appelle $O_1, O_2, \ldots, O_{n^2}$ les centres de ces carres. La distance entre $O_k$ et $O_{k+1}$ vaut toujours $\frac{1}{n}$.

On suppose, quitte a faire un changement infinitesimal, qu'aucun point est sur une frontiere d'un des carres. On part de $O_1$, ce carre contenant $k_1$ points. On relie $O_1$ a un des points et on revient en $O_1$: cela fait une distance inferieure a $\leq \frac{\sqrt{2}}{n}$. Donc pour joindre tous les points dans $C_1$, en partant de $O_1$ et en arrivant en $O_1$, on parcourt une distance $\leq k_1 \frac{\sqrt{2}}{n}$. Ensuite on va on $O_2$ en parcourant une distance $\frac{1}{n}$.

Au total on parcourt une distance
$D \leq (n^2-1)\frac{1}{2} + (k_1+k_2+\ldots+k_{n^2}) \frac{\sqrt{2}}{n} < (1 + \sqrt{2})n$



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a onze ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par alekk.
Re: Problèmes en série.
il y a onze années
avatar
salut alekk,

Pour moi,

une lignée brisée est constitue de segments que l'on pourrait tracer sans lever

le crayon et qui joindrait tous ces point sauf les 2 points extrêmes

Pour la définition formelle voir par exemple:

[les-mathematiques.net]

[fr.wikipedia.org].

Ton idée sur des choses exotique est un prolongement intéressant de ce problème.

Sinon, j'ai mis la question a) car elle a une solution plus simple que b)

Bon courage

Sincèrement,

Galax
Re: Problèmes en série.
il y a onze années
avatar
Salut Alekk,

Je précise encore que les "sommets" de la ligne brisée en question ne sont que des

points donnés au départ.

Sincèrement,

Galax



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a onze ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par galax.
Re: Problèmes en série.
il y a onze années
avatar
Bonjour,

Une indication pour le problème 49 a

On pourrait découper le carré initial en n rectangles de cotes 1 et 1/n.

Sincèrement,

Galax
Re: Problèmes en série.
il y a onze années
avatar
Bonjour,

je vois que le problème 49 n'intéresse pas de foules

Peut-être celui-ci vous plaira plus

PROBLÈME 50

Combien de tickets numérotes de 000 000 à 999 999 ont la somme de trois premières chiffres égale à la somme de trois dernières chiffres


Bon courage

Galax
Re: Problèmes en série.
il y a onze années
avatar
Bonjour,

Une indication pour le problème 50:


Une solution de ce problème peut utiliser le fait que

Le nombre de tickets dont la somme de trois premières chiffres égale à la somme de trois dernières chiffres est le même que le nombre de tickets dont la somme de six chiffres est 27.

Bon courage

Galax
Re: Problèmes en série.
il y a onze années
avatar
Un petit retour sur les problèmes 29 et 32 .

J'ai récupéré [attachment 10185 TwointegralsdeVimosTotik.pdf] en libre distribution sur la toile alors , avis aux amateurs ...

Domi
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - Two integrals de Vimos Totik.pdf (1.23 MB)
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