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Problèmes en série.

Envoyé par emre54 
Re: Problèmes en série.
il y a treize années
Si tu permets Domi
Problème N 12


galax
Re: Problèmes en série.
il y a treize années
<latex>
Bonsoir Domi,

pour améliorer ta dégustation de foi gras avec un toast et d'autres délices je te livre la dernière partie du problème 11:

Grâce à son stratégie du second jouer peut avoir au mois un monôme avec * de degré impair avant son dernier tour (par exemple il peut jouer les µ de parité différant que le premier joueur )

supposons que derniers monômes avec * sont x^m et x^n avec n impair

donc ( je reprends tes notations ) à cette étape

P(x) est de la forme Q(x) + $a x^m + b x^n $ où a et b représentent deux dernières *

On constate que P( -1 ) = Q (- 1 ) + $a (-1)^m $ - b
P( 2 ) = Q ( 2 ) + $ a 2^m + b 2^n $

on peux en déduire que
$2^n P(-1) + P(2) = 2^n Q(-1) + Q(2) + a ( 2^m -2^n (-1)^m ) $

alors le choix de
$ a = - \frac {2^n Q(-1) + Q(2) } {2^m -2^n (-1)^m}$

assure que quelque soit le choix de b on aura

$2^n P(-1) + P(2) = 0 $

et on en déduit que : soit P(2) = 0 ( et c'est gagné! ) soit que P(-1) et P(2) sont de signes opposés et le TVI permet conclure .


ouf, je me suis pas relu et j'espère ne pas avoir fait des étourderies ( comme ca peux parfois m'arriver )

Allume maintenant des bougies ton sapin et Joyeux Noël



Sincèrement,

Galax

PS je lirai ta contradiction à propos de 12 que demain
Re: Problèmes en série.
il y a treize années
avatar
Merci galax , j'ai compris ( le pire est que je n'étais pas loin ) . J'espère que toi aussi tu as compris pour le 12 sinon je peux expliquer davantage .

Joyeux Noël !

Domi
galax
Re: Problèmes en série.
il y a treize années
Merci Domi,

Tes explications du 12-24-06 20:59 sont parfaitement claires. Merci.

Sincèrement,

Galax
Victor-Emmanuel
Re: Problèmes en série.
il y a treize années
Bonsoir, et joyeux Noël! (oups, il est déjà un peu tard...)

Je n'ai pas encore lu tout votre post, mais ça ne saurait tarder. En attendant j'ai un problème, pas très compliqué, mais un tout petit peu astucieux à vous soumettre :
Etant donnés 1000 points du plan, montrer qu'il est possible de trouver une droite ne passant pas aucun de ces points, et telle qu'il y en ait exactement 500 de chacun de ses côtés.
Re: Problèmes en série.
il y a treize années
avatar
<latex> L'ensemble des pentes des droites $(M_iM_j)$ étant fini, il existe $m\in\R$ qui n'est pas une pente de ces droites. Soit $D$ une droite de pente $-\dfrac{1}{m}$ et $P_i$ la pente de $M_i$ sur $D$. Les $P_i$ sont eux à deux distincts. Soit $M$ un point de $D$ qui sépare l'ensemble des $P_i$ en deux. La droite passant par $M$ et orthogonale à $D$ répond à la question.

galax
Re: Problèmes en série.
il y a treize années
<latex> bonjour CQFD,


Je crois que dans l'esprit de ce post ( sans trahir emre54 12-15-06 19:51 ) chacun qui résoud un problème ( ce que tu as fait brillament) peux aussitôt poser le sien.

Je propose pour les raisons pratiques numéroter les problèmes.

*********

KALINDA >>> tu nous a proposé le problème 12

Il est connu que cette formule provient de Newton.

En ce qui concerne sa démonstration : tu pense sans doute à utiliser la série entière de Arc sin x pour $x= \frac {1} {2}$ qui donne aussitôt la solution de problème 12.

Sincèrement,

Galax
Re: Problèmes en série.
il y a treize années
avatar
galax : toutes mes excuses, je n'avais pas compris l'esprit du post...
Bon, je me lance :
Soit n un entier positif qui est la somme des carrés de trois rationnels. Montrer que n est la somme des carrés de trois entiers.
(en espérant que l'énoncé est dans l'esprit du post)
Re: Problèmes en série.
il y a treize années
avatar
<latex> Pour ne pas trop se perdre :

PB 13 : le problème de Kalinda avec $\pi$ .
PB 14 : le problème de Victor-Emmanuel et ses 1 000 points .
Pb 15 : le problème de CQFD et ses sommes de carrés .

Agent Domi smiling smiley
bs
Re: Problèmes en série.
il y a treize années
<latex> Bonjour CQFD ,
dans ton message précédent : $P_i$= projection ?
merci.
Re: Problèmes en série.
il y a treize années
avatar
Bonjour,

Le problème de CQFD est connu sous le nom de lemme de Davenport-Cassels. Je posterai une preuve si personne ne trouve.

Cordialement,

Ritchie
Re: Problèmes en série.
il y a treize années
avatar
<latex> Oui pardon, $P_i$ est le projeté orthogonal et non la pente comme je l'ai écrit.
Re: Problèmes en série.
il y a treize années
avatar
Je peux également poster une preuve du problème que j'ai posé (peut-être est-elle différente de celle de Ritchie). En tt cas, je ne savais pas qu'il portait le nom de "lemme de Davenport-Cassels".
galax
Re: Problèmes en série.
il y a treize années
<latex> bonjour,

KALINDA>>>
PB 13
Que pense tu de l'approche pour résoudre ton problème que j'ai proposé?

CQFD, Ritchie >>>>
Pb 15
S'il a personne qui réagit, j'aimerai connaitre ( et sans doute je ne suis pas seul ) vos approches pour résoudre ce problème.
Personellement je connais la preuve de ce résultat qui est le livre de Serre: Cours d'Arithmétique.


Sinon, il a aussi un résultat plus simple: Thèoréme d'AUBRY

Soit n un entier positif qui est la somme des carrés de deux rationnels.Alors n est la somme des carrés de deux entiers.
**************

Je me permet de proposer un nouveau problème:

problème16:
Soit $ sin (x) = \frac{3}{5}$. Montrer que $ 5^{25} sin ( 25 x) $
est un nombre entièr non divisible par 5
Re: Problèmes en série.
il y a treize années
<latex> Bonjour,

pour le probleme 16:

on a $ \Large{cos x=+-\frac{4}{5}}$

et en écrivant que :$\Large{sin(25x)=Re((cos(x)+isin(x))^{25})}$

on obtient en développant le binome de Newton apres multiplication par $\Large{5^{25}}$ qu'il ne reste plus que des produits de puissances de 4 et de 3.

Il ne faut garder que les puissances paires de i pour avoir la partie réelle hors :

$\Large{5 / C_{25}^{2k} ,1 \leq k \leq 12}$ donc il reste une somme de nombres divisibles par 5 sauf le premier terme pour k=0 qui n'est pas divisible par 5 donc le tout n'est pas divisible par 5.
Re: Problèmes en série.
il y a treize années
avatar
<latex> Voici une solution du problème 15 :

On munit $\R^{3}$ de son produit scalaire canonique.
Soit $n$ un entier qui est la somme des carrés de trois rationnels.
Il existe $t\in\N^{*}$ et $x\in\Z^{3}$ tels que $(x|x)=nt^{2}$. Choisissons $t$ et $x$ de sorte que $t$ soit minimum.
Posons $(u_{1},u_{2},u_{3})=\dfrac{x}{t}$ et choisissons $y=(y_{1},y_{2},y_{3})\in\Z^{3}$ tel que $|y_{i}-u_{i}|\le\dfrac{1}{2}$ pour $1\le i\le 3$; on a
$\left\|y-\dfrac{x}{t}\right\|^{2}\le\dfrac{3}{4}
galax
Re: Problèmes en série.
il y a treize années
<latex> Bonjour,

CQFD>>> Ta démonstration est très proche de celle de livre de JP Serre.
En tout cas c'est un joli résultat.
Est-ce que tu as quelques idées à propos de l'origine de ce problème ?
Ritchie >>>> Ta preuve est la même?




Marc>>>> ( cf 12-28-06 03:46) Peux-tu développer ta démarche?

sinon $ \Large {sin(25x)=Im((cos(x)+isin(x))^{25})}$

***************

une indication pour une autre approche du problème n°16

Poser $ p_ n = 5^{n} sin ( n x) $
$ q_ n = 5^{n} cos ( n x) $

et utiliser $ sin((n+1)x) = sin(x) cos(nx) + cos(x) sin(nx)$ et
$ cos((n+1)x) = cos(x)cos(nx) - sin(x) sin(nx) $
puis trouver des relations de récurrence pour $ p_{n+1} $et $q_{n+1}$



Sincèrement,

Galax
Re: Problèmes en série.
il y a treize années
avatar
Le problème vient d'un sujet d'oral que j'ai pris dans la RMS
Re: Problèmes en série.
il y a treize années
avatar
Un nouveau problème d'apparence très simple mais qui se révèle extrêmement ardu et dont je n'ai pas la solution smiling smiley

Problème 17 :
On dispose 45 pièces de 1€ en différentes piles de tailles quelconques . On regroupe ensuite les pièces se trouvant au sommet de chaque pile pour constituer une nouvelle pile de pièces . Montrer qu'en renouvelant cette opération un certain nombre de fois , on aboutit toujours à la configuration stable de neuf piles de tailles toutes différentes .


Domi
Re: Problèmes en série.
il y a treize années
avatar
Patience Domi : comme tu le sais (j'en suis sûr), il s'agit du problème du mois de l'université de Regina; nous aurons la solution dans qq jours.
Désolé, vous n'avez pas la permission d'envoyer ou de répondre dans ce forum.
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