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Problèmes en série.

Envoyé par emre54 
Re: Problèmes en série.
il y a treize années
avatar
Je ne le savais pas , CQFD , je l'ai découvert sur un autre site ( sans la référence ) , merci ! En tout cas , il est très amusant à chercher et ceux qui ne le connaissaient peuvent s'y essayer : plaisir garanti !

Domi
galax
Re: Problèmes en série.
il y a treize années
<latex> Bonjour,

Une indication pour le problème n°16

Posez $ p_ n = 5^{n} sin ( n x) $
et $ q_ n = 5^{n} cos ( n x) $
et utilisez $ sin((n+1)x) = sin(x) cos(nx) + cos(x) sin(nx)$ et
$ cos((n+1)x) = cos(x)cos(nx) - sin(x) sin(nx) $
on a donc :
1°) soit $ p_1=3$ et $q_1=4$
et
$ p_{n+1}= 4p_n +3q_n$
$ q_{n+1}=-3p_n+4q_n$

2°)soit $ p_1=3$ et $q_1=-4 $
et
$ p_{n+1}= -4p_n +3q_n$
$ q_{n+1}=- 3p_n-4q_n$

puis exprimez dans les deux cas $5p_n$ et $5p_n$ et étudier le reste de division par 5 de $p_n$ et $q_n$

Bon courrage!

Sincèrement,

Galax
Re: Problèmes en série.
il y a treize années
avatar
Pour ceux qui douteraient de ma bonne foi ( qui ne me connaissent pas ) , je n'ai jamais utilisé ce forum pour pomper des idées aux brillants cerveaux qui le hante pour m'en vanter ailleurs .

PB17 : J'ai une solution "made by myself" . A vous de jouer et vite , avant le couperet smiling smiley

Domi
Re: Problèmes en série.
il y a treize années
avatar
Pb 17 : Pas de réaction ? Je livrerais ma solution à minuit plus quelques heures si personne ne trouve avant ( ce qui m'étonnerais ) .

Domi
bs
Re: Problèmes en série.
il y a treize années
Bonjour,
Problème 18 :un petit exercice rigolo ( en attendant le réveillon )

1) Si un fermier possède une pâture circulaire , en attachant une chèvre à un piquet à l'aide d'une corde de bonne dimension, elle mangera toute l'herbe de ce pré.
2) Si un fermier possède une pâture elliptique ,en reliant par une corde de bonne dimension deux piquets plantés aux foyers, en attachant une chèvre à cette corde à l'aide d'un anneau relié à son cou, elle mangera encore toute l'herbe de ce pré.
3) Maintenant, si le fermier possède une pâture carrée, comment va-t-il attacher sa chèvre pour qu'elle mange encore toute l'herbe du pré, et uniquement l'herbe du pré.


Amicalement.
Re: Problèmes en série.
il y a treize années
avatar
Bonjour et bonne année à tous .

Pb 17 : la solution n'est toujours pas parue sur le site de Regina , il vous reste donc quelques jours pour chercher . Je vous donne quand même le début de ma solution .

Le mouvement des pièces d'une étape à l'autre peut-être représenté de la façon suivante ( voir figure jointe : la position de départ est en bleu ) .

On suppose que les piles sont rangées de la plus haute à la plus basse .

Passage d'une position à la suivante :

1°) On remplace les pièces sous l'axe des abscisses par leurs symétriques par rapport à (D) .
2°) On déplace l'ensemble des pièces par la translation de vecteur u .
3°) On fait glisser certaines pièces vers la gauche pour remettre les colonnes en ordre décroissant .

Observer au cours des manoeuvres 1°) 2°) 3°) la distance des pièces par rapport au point I .

Pb 18 : je sèche pour le moment smiling smiley .

Domi
galax
Re: Problèmes en série.
il y a treize années
Bonjour Bs,

D'abord une Bonne et Heureuse Année 2007 pleine des Succès, Bonheur et Santé
à toi et à tout le monde.

Pour ton problème 18 - 3°), une idée (mais la pauvre chèvre risque s'emmêler dans les fils):
Placer au milieu de chaque coté un piquet et tendre une corde entre deux piquets se trouvant sur les cotés parallèles
Puis attacher la chèvre sur chaque corde tendu par un fil glissant de longueur demi coté de carré.
En outre un de ces fils tendus doit être placé près de sol et l’autre en hauteur (pour donner à la chèvre l’accès à toute la surface du pré.
La justification géométrique de cette approche me semble très simple, mais sans doute tu as une solution beaucoup plus simple.

Sincèrement,
Galax

PS Pour le problème 16 je donnerai ma solution, dans une semaine, s’il n'y a personne qui le résout d’ici là.
bs
Re: Problèmes en série.
il y a treize années
D'abord, bonne année à tous.

Ensuite, la référence: "Mathématiques venues d'ailleurs"; en l'occurrence, ici c'est l'URSS, paru chez Belin en 1982.
Le deuxième chapitre s'intitule "La chèvre et la corde". C'est simple: on dessine une figure géométrique, et on regarde comment on peut amener une chèvre à dessiner cette figure.

Un indice pour le carré: Considérons deux pieux placés en (-3,0) et (+3,0) dans une b.o.n. Relions ces deux pieux par un câble en dur, non flexible. On permet à une ficelle, de longueur 1, de coulisser sur ce câble, et on attache la chèvre à l'autre extrémité de cette ficelle.
Quelle est alors la forme de la surface dessinée par la chèvre ?
(je crois , ceci n'est pas dans le livre , que cette figure s'appelle une saucisse de Minkowski ? [ à confirmer] )

Cet indice doit vous permettre de résoudre cette énigme champêtre.

Galax, la solution ici est plus simple , et moins contraignante pour notre capridé.

Amicalement.
Re: Problèmes en série.
il y a treize années
avatar
La solution au Pb17 est parue sur le site de Regina , je préfère la mienne , mais ce n'est pas étonnant smiling smiley

Domi
galax
Re: Problèmes en série.
il y a treize années
Bonjour Domi,

Si tu veux, tu peux nous dévoiler ta solution du problème n°17.

Et encore une Merveilleuse Nouvelle Année 2007


Sincèrement,

Galax
Re: Problèmes en série.
il y a treize années
avatar
Je te répondrai bientôt, le temps de m'habituer au nouveau forum et de mettre au propre le bout de chiffon qui me sert de "démonstration" .

Domi



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a treize ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Alain Debreil.
Re: Problèmes en série.
il y a treize années
Domi, pourquoi ne proposes-tu pas tes solutions à l'université de Régina ? Plus on est de fous, plus on ri !
galax
Re: Problèmes en série.
il y a treize années
Bonjour,

Voici une solution du problème 16.

Le debut de cette solution ce trouve dans mon message du sam 30 décembre 2006 18:28:27.

Je ferai ici l'étude du 1°cas
soit $ p_1=3$ et $ q_1=4$
et
$ p_{n+1}= 4p_n +3q_n$
$ q_{n+1}=-3p_n+4q_n$
Il est clair que $p_n$ et $q_n$ sont entières

On déduit, de 2 relations ci-haut, que modulo 5 les suites $p_n$ et $ q_n$ sont périodiques de période 4.

En effet, on a modulo 5 $p_1= 3, p_2= 4, p_3= 2, p_4= 1, p_5= 3$ ...
et $q_1= 4, q_2= 2, q_3= 1, q_4= 3, q_5= 4$ ...

Ainsi $p_25 = p_1 = 3$ ce qui montre que $p_{25}$ n'est pas divisible par 5, ce qui signifie que $ 5^{25} \sin(25x)$ n'est pas divisible par 5 lorsque
$\sin(x) = \frac{3}{5}$ et $ \cos(x) =\frac{4}{5}$ .

L'autre cas peut être traité de la même façon.

Sincèrement,
Galax

[Corrigé selon ton indication. AD]
galax
Re: Problèmes en série.
il y a treize années
Bonsoir,

Voici un autre problème (je suis sûr que Domi l’appréciera)

PROBLEME 19

Soient $A_1$, $A_2$, ... , $A_{50}$ 50 sous ensembles différents d'un ensemble fini E,
tels que chacun contient plus que la moitié des éléments de E.
Démontrer
qu'il existe un sous ensemble B de M ayant au plus 5 éléments qui a une intersection non vide avec chacun des ensembles $A_1$, $A_2$, ... , $A_{50}$

Sincèrement,

Galax
Re: Problèmes en série.
il y a treize années
avatar
bonjour,

Le PROBLEME 19 n'interesse personne?

Sincèrement,

Galax
Re: Problèmes en série.
il y a treize années
avatar
Galax , je ne t'ai pas oublié pour le problème 17 , j'essaie juste de voir si je peux trouver une explication simple au majorant proposé par le site , à bientôt donc ...

Domi
Re: Problèmes en série.
il y a treize années
avatar
Merci Domi pour ton message.

J'espère aussi que le problème 19 te plaira.

Sinon une question complémentaire pour ce problème, mais qui n'influence pas sa solution.

Posons en plus M = {1, 2, ..., n}, quel est n minimal pour qu'il existe 50 sous ensembles différents de M dont chacun a plus de moitié des éléments de M.


Ne hésite pas de poser aussi un nouveau de tes problèmes ici.
Car même, si je ne trouve pas chaque fois, c'est toujours un plaisir de tenter les résoudre.

Sincèrement,

Galax
Re: Problèmes en série.
il y a treize années
avatar
Il me plait , galax , si j'arrivais à trouver un peu de temps ... ( je suis un peu lent ! )

Je posterais aussi à l'occasion d'autres problèmes .

Domi
gb
Re: Problèmes en série.
il y a treize années
On classe les parties de $M$ par paires $\{A,B\}$ avec $A$ et $B$ complémentaires.
Entre $A$ et $B$, l'une des parties aura plus de la moitié des éléments de $M$, l'autre moins de la moitié, plus les cas où $A$ et $B$ ont chacun la moitié des éléments...si $n$ est pair.
Pour trouver les 50 parties voulues, il faudra déjà que $M$ admette au moins 100 sous ensembles. Comme $2^7 = 128$, et que 7 est impair, $M = \{1,2,3,4,5,6,7\}$ est l'ensemble minimal voulu avec 64 parties à plus de 4 éléments, et leurs 64 complémentaires à moins de 3 éléments.
Re: Problèmes en série.
il y a treize années
avatar
Rebonsoir Gb,

Oui c'est la réponse à cette question

Galax



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a treize ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
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