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Problèmes en série.

Envoyé par emre54 
Re: Problèmes en série.
il y a douze années
Bonjour,

Pour trouver explicitement un n tq. [n,n+999] ait 4 nombres premiers exactement, on peut utiliser le produit Q des 95 nombres premiers (de 2 à 499), et trouver prevprime(Q-500) et nextprime(Q+500), et examiner isprime(Q-1) et isprime(Q+1)...

Quelqu'un a-t-il un logiciel capable de répondre à ces commandes de Maple pour de très grands nombres comme Q+500?

Amitiés,
Georges

PS J'ai en fin résolu la mise en gras d'une partie du texte en copiant Borde.
Re: Problèmes en série.
il y a douze années
avatar
Bonsoir GeorgesZ,

Suite du pb. n°22.

Je viens démontrer ( par récurrence ) que:

$u(n) = 3^{E_n} + \frac{1}{3^{E_n}}$

avec $ E_2 = 1$
et
$ E_n =2E_{n-1} + (-1)^n}$ pour n $ \geq 3$
qui vérifie en outre que :
$ {E_n} -2E_{n-1}$ est égal à +1 ou -1.

Je recopierai ici en complément ma démonstration dès que j'aurai un peu de courrage pour le faire.
NB. L'idée de base que j'ai utilisé pour cette démonstration est d'écrire tout u(n) comme la somme de puissances de 3.

Sincèrement,

Galax
Re: Problèmes en série.
il y a douze années
Bonjour Galax,

Très bien. Effectivement on trouve :

$$u(n) = 3^{E_n} + \frac{1}{3^{E_n}}$$

avec $E_1=1$.

Si tu ajoutes $E_0=0$ probablement ta démo sera plus facile...

La difficulté de l'énoncé consiste à laisser entendre (faussement) que l'on ne peut pas calculer $u(n)$.

Pour trouver explicitement $[n,n+999]$ avec exactement 4 nombres premiers, la méthode que j'ai proposée utilise de trop grands nombres.

Avec Maple, j'ai trouvé $[n,n+99]$ avec exactement 4 nombres premiers, en utilisant $Q=2.3..23$ seulement (j'ai pris de moins en moins de premiers depuis 53) :

pour $n=223 092 770$ ($n+3$ est le premier premier, $n+57$ est le quatrième premier de l'intervalle et $n+99=Q-1$).

Est-ce le plus petit $n$?

Amitiés,
Georges
Re: Problèmes en série.
il y a douze années
avatar
bonjour GeorgesZ,

Voici deux liens que j'ai trouvé quand j'ai cherché à voir si 999! + 1 est premier ou composé:

[primes.utm.edu]

[www.uow.edu.au]

ainsi qu'un pdf

[attachment 5752 primorials.pdf]

J'espère que cela pourra t'être utile.

Sincèrement,

Galax
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - primorials.pdf (191.7 KB)
Re: Problèmes en série.
il y a douze années
avatar
Bonjour GeorgesZ,

Voici le texte concernant le joueur d'échecs de la revue Quadrature analogue au Pb. 20:

[attachment 5775 echecs.png]

Qu'en penses-tu ?
Sincèrement,
Galax



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a douze années et a été effectuée par AD.


Re: Problèmes en série.
il y a douze années
Bonjour Galax,

Merci pour les sites que tu fournis sur les grands nombres $n! \pm 1$ ou $2\times 3\times p_n\pm 1$.

Cela répond à isprime($2.3..499\pm 1$) mais pas à prevprime ou nextprime, donc cela ne permet pas de trouver explicitement $n$ tq. $[n,n+999]$ contienne exactement 4 nombres premiers.

Merci aussi pour la démo de quadrature.

Elle est astucieuse mais concerne un pb. différent : la période de jours est simplement dite assez longue.

Avec Dirichlet, on obtient ce que j'ai demandé très simplement pour une période fixée.

Amicalement,
Georges
Re: Problèmes en série.
il y a douze années
avatar
Bonjour GeorgesZ,



Moi aussi je préfère la démonstration par le principe de Dirichlet, mais la démonstration de Quadrature contient des idées intéressantes, bien qu'elle concerne un problème un peu différant.



Sincèrement,

Galax
Re: Problèmes en série.
il y a douze années
avatar
Bonsoir GeorgesZ et tous ceux qui se sont interessés à ce problème,

Voici le complément promis dans mon message du 25 février 2007 01:17:02
(les détails de ma démonstration du problème n°22),

Je montre d’abord que la suite définie par :
$ E_0=0$, $ E_1=1$
et
$ E_n =2E_{n-1} + (-1)^n$ (def 1_n) pour tout n $ \geq 2$ (def 1)

peut être définie par :
$ E_0 = 0$, $ E_1 = 1$
et
$E_{n+1}= E_n+2E_{n-1}$ (def 2_n) pour tout n $ \geq 1$ (def 2)

En effet, supposons qu’on a (def 1) :

Ainsi $ E_{n+1}= 2E_n + (-1)^{n+1} $
et
$ E_n+2E_{n-1} =2E_{n-1} + (-1)^n +2(2E_{n-2} + (-1)^{n-1}) $

En supposant que (def 2_n) est vérifiée pour 1, 2, …, k

on a $2E_k + (-1)^{k+1} =2E_{k-1} + (-1)^k +2(2E_{k-2} + (-1)^{k-1})$
ou encore
$2E_k = 2 (E_{k-1} + 2E_{k-2}) + (-1)^k + 2(-1)^{k-1}- (-1)^{k+1} $
et finalement
$E_{k+1}= E_{k}+2E_{k-1}$
Ainsi ( def2) est vérifiée.

Réciproquement: Supposons que (def2) est vérifiée.
Supposons de plus que (def 1_n) est vérifiée pour 1, …, k

On a donc
$ E_{k}
= E_{k-1}+2E_{k-2}
= 2E_{k-2} + (-1)^{k-1}+ 2 (2E_{k-3} + (-1)^{k-2 }) $
$= 2(E_{k-2}+2E_{k-3}) +(-1)^{k-1}+2(-1)^{k-2}
=2 E_{k-1} + (-1)^k$.
Ainsi (def1) est vérifiée.

Il reste établir que:
$ u(n) = 3^{E_n} + \frac{1}{3^{E_n}}$ pour tout n dans N

Ce résultat est vrai pour n = 0, 1 , 2
Supposons donc que cette formule est vraie pour tout n de 0 à k
et prouvons quelle est aussi vérifié pour k+1

On constate que
$ u(k+1)
=u(k)(u(k-1)^2-2)-\frac{10}{3}
= (3^{E_k}+ \frac{1}{3^{E_k}})((3^{E_{k-1}}+ \frac{1}{3^{E_{k-1}}})^2-2) -\frac{10}{3}$
$=(3^{E_k} + \frac{1}{3^{E_k}})(3^{2E_{k-1}} + \frac{1}{3^{2E_{k-1}}})-\frac{10}{3}
= 3^{E_k+2E_{k-1}}+ \frac{1}{3^{ E_k+2E_{k-1}}} + 3^{E_k-2E_{k-1}}+ 3^{2E_{k-1}-E_k} -3 - \frac{1}{3}$
$=3^{E_k+2E_{k-1}})+ \frac{1}{3^{ E_k+2E_{k-1}}}
= 3^{E_{k+1}} + \frac{1}{3^{E_{k+1}}}$
Compte tenu que$ {E_n} -2E_{n-1}$ est égal à +1 ou -1.

Ceci démontre que:
$ u(n) = 3^{E_n} + \frac{1}{3^{E_n}}$ pour tout n dans N

On en déduit aussitôt: $E(u(n))= 3^{E_n}$ pour n = 1, 2, ...

NB J'aurais pu partir tout de suite de (def2) mais comme j'ai annoncé déja (def1) j'ai prouvé aussi leurs équivalence

Sincèrement,

Galax
Re: Problèmes en série.
il y a douze années
avatar
Bonjour,

Pour changer un peu, je propose un problème de géométrie:

{\bf PROBLEME 23:

Soient A, B, C, D 4 points consécutifs d'un cercle unitaire.
Si AB.BC.CD.DA $ \geq 4$, alors ABCD est un carré.}


Sincèrement,


Galax
Re: Problèmes en série.
il y a douze années
Bonjour Galax,

Pour le Pb. 22, tu ne donnes pas $ E(u(n))$ (ni $u(n)$), pour n = 1, 2, ... explicitement.

Voici une preuve :

On a, pour $a(0)=0$ et $a(1)=1$,

$u(0)=2=3^0+3^{-0}=3^{a(0)}+3^{-a(0)}$ et $u(1)=10/3=3^1+3^{-1}=3^{a(1)}+3^{-a(1)}$ .

Examinons s'il existe une suite $(a(n))_{n\geqslant 0}$ tq. $u(n)=3^{a(n)}+3^{-a(n)}$.

C'est vrai, par récurrence sur $n\geqslant 0$, si l'on a

$(1) a(n+1)=a(n)+2a(n-1)$ et $(2) 2a(n-1)-a(n)=\pm 1$ car :

$$u(n+1)=(3^{a(n)}+3^{-a(n)})((3^{a(n-1)}+3^{-a(n-1)})^2-2) -(3^1+3^{-1})\newline
=3^{a(n)+2a(n-1)}+3^{-(a(n)+2a(n-1))}+3^{2a(n-1)-a(n)}+3^{-(2a(n-1)-a(n))}-(3^1+3^{-1})$$

Or l'équation caractéristique de (1) est $x^2-x-2=0$ de racines 2 et -1, d'où :

$a(n)=c2^n+d(-1)^n$ et, puisque $c+d=a(0)=0$ et $2c-d=a(1)=1$, on a $c=1/3$ et $d=-1/3$, donc nécessairement, si on veut (1), $a(n)=\frac {2^n-(-1)^n}{3}$.

Vérifions que l'on a alors (2) :

$2a(n-1)-a(n)=\frac {2(2^{n-1}-(-1)^{n-1})}{3}-\frac {2^n-(-1)^n}{3}=(-1)^n=\pm 1$.

Donc on a $u(n)=3^{\frac {2^n-(-1)^n}{3}}+3^{-\frac {2^n-(-1)^n}{3}}$.

Si $n\geqslant 1$, on a $0 < 3^{-\frac {2^n-(-1)^n}{3}} < 1$, donc $E(u(n))=3^{\frac {2^n-(-1)^n}{3}}$ ($a(n)$ est entier).

Ce Pb. , énoncé avec $u(1)=5/2$, est l'ex. 7 du Ch.1 du livre "Maths pour les Cracks", dont j'ai parlé dans ce fil.

On peut y prendre, pour $p>0$ entier, $u(1)=\frac{p^2+1}{p}$ (j'ai choisi $p=3$).

Je vais réfléchir sur ton Pb. 23, j'espère ne pas être le seul.

Je propose un petit exo de logique :

{\bf Pb. 24. 5 couples se rencontrent et certains se serrent la main (évidemment ni à eux-mêmes ni à leur conjoint). A demande aux 9 autres personnes : combien de mains ont-ils serrées? Il obtient les réponses 0,1,2,...,8. Combien de mains A a-t-il serrées?}

Amitiés,
Georges
Re: Problèmes en série.
il y a douze années
Rebonjour,

Une indication pour le Pb. 23 : utiliser le théorème de Ptolémée.

Amicalement,
Georges
bs
Re: Problèmes en série.
il y a douze années
avatar
Bonjour,

pour le pb 23: effectivement avec Ptolémée:

Thme: dans un quadrilatère convexe inscrit dans un cercle, le produit des diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés :
AC x BD = AB x DC + AD x BC

ici:
AC x BD = AB x DC + AD x BC >= AC x BD + 4/AC.BD >= 4
> 1ère inégalité : énoncé
> 2éme inégalité : min (x + m/x ) obtenu pour $ x= \sqrt{m}$

reste : AC x BD >= 4; AC et BD sont les diagonales d'un quadrilatére inscrit dans un cercle de rayon 1 ===> AC et BD ne peuvent être que deux diamètres: AC=BD=2.===> ABCD est un rectangle.

On a: AB x DC + AD x BC =4 ===> $l^2+L^2=4$
et $llLL >= 4 $==> $l^2L^2>= 4$

Reste à montrer $L=l$ ...

Bonne jounée.
Re: Problèmes en série.
il y a douze années
avatar
Bravo Bs,

Ca s'appelle un problème résolu rapidenet.

Alors c'est à toi proposer un autre .

>>>>> GeorgesZ, pas mal ta solution du pb 22, plus courte que la mienne
( en particulier j'aime l'emploi de l'équation caractéristique) ... mais l'idée de base est la même

Sincèrement,

Galax
bs
Re: Problèmes en série.
il y a douze années
avatar
Sans Ptolémée, je chercherais encore...
D'accord Galax: Voici le pb 25 ( n° corrigé ) que je propose:

{\bf quand on examine la suite 312132: on s'aperçoit que:
--> il y a un seul chiffre entre les deux 1
--> il y a deux chiffres entre les deux 2,et,
--> il y a trois chiffres entre les deux 3.
C'est la seule suite possible , sans compter la suite inverse lue de droite à gauche.

Exercice: construire une telle suite avec (1,2,3,4), puis (1,2,3,4,5) , ou plus
Existence , unicité ...}

Bonne journée.
Re: Problèmes en série.
il y a douze années
41312432

Snif, snif mon Pb.24 est passé à l'as!

Quel est le PB.25?

Sans aucune rancune,

Georges
bs
Re: Problèmes en série.
il y a douze années
avatar
Bonjour,

merci Georges : j'ai rectifié le numéro du problème , désolé !
Joli résultat, tu connais ce problème ?: unicité pour 4 ? existence pour 5? 6? 7?...
Re: Problèmes en série.
il y a douze années
avatar
Bonjour Bs,

53141352432

est-il acceptable?

Sincèrement,

Galax
bs
Re: Problèmes en série.
il y a douze années
avatar
Bonjour Galax,

Tu sais bien que non... car il y a trois 3 dans ta suite !
d'ailleurs , il n'existe pas de solution pour 5, ni pour 6.
Par contre , il en existe de nombreuses pour 7.
Après, je ne sais pas.

La solution de Georges est-elle unique ? ( de droite à gauche, c'est la même solution )

Georges: l'énoncé de ton pb 24 sort du cadre rectangulaire, et je n'avais donc pas pu le lire en entier dans un premier temps.

Amicalement.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a douze ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par bs.
Re: Problèmes en série.
il y a douze années
avatar
Bonjour à tous .

Pb 24 :

Une personne "B" a serré la main à huit personnes c'est à dire à toutes les personnes possible donc ces huit personnes ont serré la main à au moins une personne et c'est le conjoint de "B" qui n'a serré la main à personne . On retire "B" et sa moitié de l'ensemble des personnes ( il reste toujours "A" et son conjoint ) . Si "A" demandait à chacun combien ils ont serré de main , il obtiendrait les réponses 0,1,...,6 . Le raisonnement initial s'applique à nouveau et ainsi de suite . Au bout du compte la personne A et son conjoint ont serré la main à 4 personnes .

Domi
Re: Problèmes en série.
il y a douze années
Bonjour BS,

non je ne connais pas cela, mais je pense que 41312432 est unique à symétrie près.

On essaye 121-2 et on ne peux plus placer 4.
Puis 141---4 donne par exemple 141-2-42 et on ne peus plus placer 3.
Enfin 131--3 donne la seule solution -1312-2 puis 41312432.

As-tu autre chose que cette cuisine pour prouver : pas de solution si 5 ou 6?

Amitiés,
Georges
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