d'Alembert
Comme c'est un forum, je vais arrêter de donner des casse-têtes... Mais plutôt, lancer une discussion.
Le théorème d'Alembert (marié avec le théorème de Hilbert) permet de dire que la seule invention de $i$ tel que $i^2=-1$ {\bf suffit} à avoir tout ce qui est possible de demander à un corps en quelque sorte.
But de cette discussion: "toucher du doigt" cette magie qu'est la suffisance de $i$ par l'exemple. Merci, donc, de proposer des exemples...
D'après mes connaissances il y a 2 preuves "académiques" du théorème de d'Alembert. L'une très simple mais par l'absurde et utilisant l'analyse et l'autre "inspirée" (ie il faut y penser) et algébrique qui passe par un back ground assez chiant sur les polynômes symétriques, etc...
Quelqu'un, par exemple, connaitrait-il un "bon polynome" typique (dont on ne voit pas en quoi, $i$ sert à quelque chose pour lui donner des racines et qui après "décortication" révèle toute la richesse de $i$?
Le théorème d'Alembert (marié avec le théorème de Hilbert) permet de dire que la seule invention de $i$ tel que $i^2=-1$ {\bf suffit} à avoir tout ce qui est possible de demander à un corps en quelque sorte.
But de cette discussion: "toucher du doigt" cette magie qu'est la suffisance de $i$ par l'exemple. Merci, donc, de proposer des exemples...
D'après mes connaissances il y a 2 preuves "académiques" du théorème de d'Alembert. L'une très simple mais par l'absurde et utilisant l'analyse et l'autre "inspirée" (ie il faut y penser) et algébrique qui passe par un back ground assez chiant sur les polynômes symétriques, etc...
Quelqu'un, par exemple, connaitrait-il un "bon polynome" typique (dont on ne voit pas en quoi, $i$ sert à quelque chose pour lui donner des racines et qui après "décortication" révèle toute la richesse de $i$?
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Réponses
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"la seule invention de i suffit à avoir tout ce qui est possible de demander à un corps en quelque sorte."
En termes plus précis : si K est un corps réel clos alors K[X]/(X^2+1) est algébriquement clos.
Il y a quand même une hypothèse, Q(i) n'est pas algébriquement clos par exemple. -
Certes! Ca allait sans dire... Merci, je veillerai à ne pas trop parer les thèmes de vague même quand ce ne sont pas des exercices... C'est promis.
Ta précision suggère d'ailleurs une question: quelle conséquence a sur K le fait que K[X]/(X^2+1) soit algébriquement clos?
Est-ce que "réel clos" est important si on ajoute une hypothèse topologique. Précisément, supposons que K soit localement compact avec une topologie compatible avec sa structure de corps et contienne un élément dont le carré vaut -1: est-il alors forcément algébriquement clos?Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
À ce qui me semble, ce qui fait que $C$ est algébriquement clos et non $R$ est que $C$ privé d'un nombre fini de points est connexe et $R$ privé d'un point non.
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tu peux préciser parce que j'ai du mal à capter ce que tu affirmes?
Un corps topologique tel que le complémentaire de tout ensemble fini serait connexe serait "forcément?, essentiellement? " algébriquement clos?
(sans supposer qu'il contienne $\R$! Ou en le supposant?)
A ce propos est-il vrai que tout surcorps strict de $\R$ topologiquement "correct" (sens à préciser) contient $\C$???Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
ben je ne prétends pas faire de généralité, mais j'ai eu en côlle un exo sur le théorème de d'Alembert, la démo marche très bien pour C comme pour R ! Sauf quand on regarde d'un peu plus près et on se rend compte que le point essentiel qui ne marche pas pour R est que celui-ci n'est pas connexe si on enleve des points.
En fait simplement, on considère K en tant qu'espace image du polynome. Sur im P privé des valeurs critiques le polynome est inversible et on montre même que le nombre des images réciproques - le nombre de feuillet - est localement constant sur K privé des valeurs critiques qui sont en nombre finis. Sur C, C privé de ces qqs points est connexe donc le nombre d'image réciproque d'un polynome est globalement constat sur C privé des valeurs critiques, donc non nul donc théorème. Sur R, un seul point en moins suffit à déconnecter, le théorème n'est plus vrai. On voit très bien le phénomène en traçant la courbe d'un polynome sur R et en regardant les intervalles de l'axe des y sur lesquels le nombre d'inverse est constant, les intervalles sont délimités par les valeurs critiques. -
"quelle conséquence a sur K le fait que K[X]/(X^2+1) soit algébriquement clos? "
La réciproque est vraie : K est alors réel clos. -
waouh!!
je passais vite fait, car j'ai mis une option qui m'envoie des mails quand des gens interviennent dans certains forums. Je n'allais pas me connecter quand j'ai vu cette "nouvelle" (pour moi): je lui rends un hommage appuyée!
On a tendance à ne classer les résulats qu'à cause de la difficulté de leur démonstration. C'est dommage, il faudrait un panthéon des théorèmes sur d'autres critères que la difficulté qu'il y a à les prouver.
{\it Si le seul ajout d'un élément $i$ tel que $i^2=-1$ permet de donner des racines à tous les polynômes alors tout polynôme de degré impair a une racine dans le corps de départ et réciproquement}
Y a-t-il un exercice dans le serveur d'exercice qui découpe ça en étapes?????
Sinon je m'engage à en chercher un sur le net et à mettre un lien et même à le reformuler sans le "background géométrie algébrique" (sans parler de K[X]/I, etc)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
En fait, c'est assez facile si on suppose K de caractéristique différente de 2 :
Soit K un corps tel que L = K[X]/(X^2+1) (soit un corps et) soit algébriquement clos. Soit P dans K[X] de degré impair. Alors P a au moins un facteur irréductible Q de degré impair n dans K[X]. On sait que Q a une racine x dans L. L'extension K(x)/K est de degré n mais aussi de degré <=2. Donc n=1, donc x est dans K. Donc P a une racine dans K.
Remarque 1 : cela ne démontre pas complètement que K est réel clos mais ce n'est pas difficile de terminer.
Remarque 2 : il est inutile de supposer K de caractéristique différente de 2, on peut le déduire.
Remarque 3 : on a le résultat plus général suivant : si L/K est une extension finie, et si L est algébriquement clos alors L/K est de degré 2, K est réel clos (en particulier de caractéristique nulle), et L est K-isomorphe à K[X]/(X^2+1). C'est un théorème de Artin je crois. Le plus difficile est de montrer que K est de caractéristique nulle. Après, avec un peu de théorie de Galois, c'est facile X:-(
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