Principe du maximum discret

Bonjour jacquot , alekk et les autres .

Il me semble avoir une démonstration de la propriété qui se généralise en plus facilement à toute dimension $n$ ( sauf erreur ) . Il me semble que la propriété à laquelle alekk faisait allusion est celle qui dit que $f$ harmonique de $\mathbb{Z}^2$ dans $[0;+\infty[$ alors $f$ est constante . Le fait que $f$ ne soit pas bornée à priori complique beaucoup les choses .

Une fonction $f:\mathbb{Z}^2\rightarrow \mathbb{R}$ est dite harmonique si , $\forall (x;y) \in \mathbb{Z}^2$ :
$4.f(x,y)=f(x-1;y)+f(x+1;y)+f(x;y-1)+f(x;y+1)$ .
Considérons $f:\mathbb{Z}^2\rightarrow [0;1]$ , harmonique et posons :
$g:\mathbb{Z}^2\rightarrow [0;1] \ : \ g(x;y)=1-f(x;y)$ .
$h:\mathbb{Z}^2\rightarrow [-1;1] \ : \ h(x;y)=f(x+1;y)-f(x;y)$ .
On a $g$ et $h$ harmoniques , notons : $M=sup\{h(x;y) / (x;y)\in \mathbb{Z}^2\}$ .
Supposons $M>0$ , soit $m \in \mathbb{N}$ , $\displaystyle{m>\frac{2}{M}}$ , $\displaystyle{0<\varepsilon<4^{-m}}$ .
On peut choisir $(x;y) \in \mathbb{Z}^2$ tel que $h(x;y)> M-\varepsilon$ .
Montrons par récurrence sur $k \in \mathbb{N}$ : $h(x+k;y)>M-4^k\varepsilon$ .
\begin{itemize}
\item Si $k=0$ , évident .
\item Supposons l'inégalité vérifiée au rang $k$ et posons $A=h(x+k+1;y)$
$A=4.h(x+k;y)-h(x+k;y-1)-h(x+k;y+1)-h(x+k-1;y)$
$A>4(M-4^k\varepsilon)-3.M\geq M-4^{k+1}\varepsilon$ .
\end{itemize}
La propriété est établie .
$\displaystyle{1 \geq f(x+m;y)-f(x;y)=\sum_{k=0}^{m-1}h(x+k;y)>\sum_{k=0}^{m-1}(M-4^k\varepsilon)}$
$\displaystyle{1 > mM-\frac{\varepsilon}{3}.(4^m-1)> mM-\frac{\varepsilon}{3}.4^m>2-\frac{1}{3}>1}$ .
On aboutit à une contradiction .
Si $M<0$ on arrive à la même contradiction en considérant $g$ : $M=0$ .
Si $h$ prend des valeurs strictement négatives , en utilisant à nouveau $g$ :
nouvelle contradiction , $h=0$ et $f(x;y)$ est indépendant de $x$ .
Les deux coordonnées jouant un rôle similaire : $f$ est constante .

Domi