Monomorphismes, épimorphismes etc

Estupido !

Prenons le catégorie des espaces topologiques avec pour morphismes les applications continues. Si $f : E \longrightarrow F$ a pour image une partie partout dense dans~$F$, c'est un épimorphisme.

Sauf erreur.

Bruno

Bruno écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?2,360503,360591#msg-360591
[Inutile de répéter un message précédent. Un lien suffit. AD]

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Je crois qu'il y a peut-être une erreur dans ton résultat. Soit $f : E \longrightarrow F$ partout d'image dense et $g_i : F \longrightarrow G$ deux applications telles que $g_1 \circ f = g_2 \circ f$.

J'ai l'impression que tu supposes que $G$ est séparé pour montrer que c'est bien un épimorphisme. Sinon, je ne vois pas comment tu utilises les hypothèses pour séparer les points.

J'ai bien l'impression que dans la catégorie des espaces topologiques, tout morphisme est surjectif ssi c'est un épimorphisme. J'ai écrit une démonstration mais comme je n'ai pas regardé les détails, il est bien possible que ce soit faux justement...

A+

Thibault

On peut montrer que les épimorphismes sont les applications continues surjectives par le raisonnement suivant.

Soit $f: X \to Y$ une application continue non surjective. Choisissons $a \in Y\setminus f(X)$. On considère deux copies $Y_1, Y_2$ de $Y$. Pour $y\in Y$, on note $y_i$ l'élément $y \in Y_i$. On note $Z$ le quotient de la réunion disjointe $Y_1 \cup Y_2$ par la relation d'équivalence engendrée par les $\{ (y_1,y_2) ~|~ y \in Y\setminus \{a\} \}$. L'espace $Z$ est $Y$ avec le point $a$ dédoublé en $a_1$ et $a_2$.

On considère $g_i$ la composée $Y \overset{\sim}{\to} Y_i \hookrightarrow Y_1\cup Y_2 \to Z$ c-a-d $y \mapsto \begin{cases} y & si~~y\neq a \cr
a_i & si~ y=a \end{cases}$. Comme composée d'applications continues, $g_i$ est continue et on a $g_1 \circ f = g_2\circ f$ mais $g_1\neq g_2$.



PS: On peut en donner une autre preuve beaucoup plus générale et formelle:

Theoreme: Tout foncteur $L:C \to D$ admettant un adjoint à droite $R$ préserve les épimorphismes

Dem: Soit $f:X\to Y$ est un épimorphisme de $C$. Alors pour tout $E\in D$, $Hom(L(f),E): Hom(L(Y),E) \to Hom(L(X),Z)$ s'identifie par adjonction à $Hom(f,R(E)): Hom(Y,R(E)) \to Hom(X,R(E))$ qui est injectif par hypothèse. Donc $L(f)$ est un épimorphisme.

Il suffit alors d'appliquer cela à $L: Top \to Ens$ l'oubli de la topologie, $R$ étant le foncteur "topologie" grossière.