Paradoxe d'Hofstadter ?

C'est un paradoxe bien connu.
Supposons que la boîte choisie contienne 10 euros.
L'autre boîte en contient soit 5, soit 20 euros (avec probabilités égales).
Notons X le gain si on échange.
On a alors :
E(X) = 1/2 * 50 * 1/2 *200 = 125 > 100
On aurait avantage à échanger...
Ce qui est très génant car, a priori, aucune des deux boîtes n'est privilégiée.

Ceci dit, je ne crois pas qu'il faille en rester à l'interprétation de simple calcul d'espérance... Il y a bien d'autres façons de modéliser le problème qui donneront des conclusions différentes...

Un des problèmes aussi est que l'on a supposé que la probabilité que l'autre boîte contienne 5 euros est égale à celle qu'elle en contienne 20. Ce qui est purement arbitraire. On pourrait penser que P(5)>p(20) car les organisateurs ne veulent pas avoir trop de perte. En fait, on a aucune information sur ces probabilités...

Et si on utilisait la loi de Benford ? (Qui affirme que la combinaison {10,20} est plus probable que {5,10}...)

Bof...

Attendons de voir ce qu'en disent les collègues de ce forum...

Dans ce cas là, effectivement, il y avait intérêt à échanger ! (De collègue...) :-))

Je demande, comme Denis, des précisions sur la loi de Benford.
Le sujet a donné lieu à d'abondantes discussions sur ce forum, il y a environ 9 mois. De mémoire, il n'y avait pas eu d'entente finale des participants. Les interventions de Bibi et d'Eric Lafosse pourraient appeler des commentaires, mais je préfère remettre à plus tard.

Loi de Benford :
En gros, si on relève une série de nombres (dans la nature, suite à des mesures par exemple) et qu'on regarde le premier chiffre significatif, la loi de Benford affirme qu'il n'y a pas équirépartition entre 1, 2 ,....9. Et ceci indépendamment des unités de mesures choisies. Ainsi la majorité des relevés commenceraient par le chiffre 1...
Dans cette loi, si on note E={1;2;...;9}, la probabilité p(k) q'un relevé commence par le chiffre k est : p(k)=log(1+1/k)
(log décimal)
On vérifie qu'il s'agit bien d'une loi de proba.
Mais je plaisantais en suggerant de l'appliquer au problème de Félix. (Histoire de dire qu'il a mille façons de penser le problème)

<!--latex-->Vos réponses me surprennent beaucoup, surtout celle de Bibi. Il y a effectivement un paradoxe qui y ressemble extérieurement beaucoup mais qui n'a au fond rien voir. Il s'agit de ce que j'appelle le paradoxe de la fête foraine. Il met en scène un jeu aussi célèbre qu'amusant. Son principe est très simple. Le forain dispose trois gobelets et dissimule une balle sous l'un des trois. Le participant doit deviner laquelle. La situation de l'énoncé est la suivante :
<BR>
<BR>-le joueur désigne un gobelet,
<BR>-le forain lui dit "je vais vous aider" et retourne un des deux autres gobelets,
<BR>-il n'y avait pas la balle sous le gobelet retourné.
<BR>
<BR>La question est : le joueur a-t-il intérêt à changer d'avis ?
<BR>
<BR>Une manière naïve de probabiliser le problème est de dire que le joueur avait 1/3 de se tromper au départ. Par conséquent, il y avait deux chances sur trois que la balle soit sous un des deux autres gobelets. Le forain, dans sa grande bonté, ayant révélé un de ces deux gobelets, sous lequel le sort a voulu que la balle ne soit pas, le gobelet survivant hérite donc des 2/3 de probabilité. On voit donc que le problème ainsi formalisé conduit à penser qu'il est plus avantageux de changer. Une formalisation un peu plus réaliste aboutit évidemment à la conclusion contraire : le joueur doit maintenir son choix. C'est un problème édifiant. Je laisse maintenant réfléchir dessus ceux qui le voudraient .
<BR>
<BR>Pour en revenir, au paradoxe rapporté par Félix Marie, appelons X et 2X les sommes contenues dans les deux boîtes. En supposant comme il l'a fait que l'on choisit avec les probabilités 1/2 et 1/2 la boîte à X ou celle à 2X. La perspective de gain est :
<BR>
<BR>Gain = (1/2)*GainX+(1/2)*Gain2X
<BR>GainY étant le gain obtenu en changeant, sachant que le premier choix avait désigné la boîte contenant la somme Y
<BR>
<BR>GainX = X (on échange notre boîte à X contre notre boîte à 2X)
<BR>Gain2X = -X (influencé par les publicités de lessive, on échange notre boîte à 2X contre une à X)
<BR>
<BR>Le gain est donc nul. C'est heureux.
<BR>
<BR>L'erreur ne vient pas donc pas de la probabilisation. L'erreur vient de ce que l'on ajoute des gains relatifs. Or on sait bien qu'il ne faut pas le faire, que c'est très mal. Contrairement à ce qu'on peut croire, une augmentation de 1<BR>

<!--latex-->L'erreur ne vient pas donc pas de la probabilisation. L'erreur vient de ce que l'on ajoute des gains relatifs. Or on sait bien qu'il ne faut pas le faire, que c'est très mal. Contrairement à ce qu'on peut croire, une augmentation de 1<BR>

Bon, visiblement j'ai un problème avec Latex et les pourcentages.


Arnaud, désolé

Merci )

<!--latex-->Je n'ai pas tout compris à cette histoire de gain maximal (dans votre calcul, la moyenne après changement étant de 25, le gain serait de 5) mais je comprends désormais la nature de votre dilemme.
<BR>
<BR>Vu sous cette angle en effet, on ne peut attribuer les probabilités de 1/2 et 1/2 à 10 et 40. Le problème étant qu'on se place du point de vue du joueur, ce qui explique qu'on ait à s'intéresser à la probabilité de la somme de 40 euros. Ca me semble être une approche inutilement compliquée dans ce cas précis (cf. mon calcul de gain avec des hypothèses raisonnables) mais bon on peut aussi s'y intéresser, c'est vrai. Je vais essayer d'être clair.
<BR>
<BR>Question1 : En quoi le problème peut être délicat ?
<BR>
<BR>Le problème est délicat dans la mesure où le fait que le gain obtenu en changeant de choix soit nul ne va pas toujours de soi. Si on suppose qu'une somme est forcément entière alors dans le cas où par exemple la boîte que l'on a choisi renferme 1 euro, on sait que l'on a forcément intérêt à en changer. Inversement, si on sait que la somme ne peut pas dépasser 30 euros, on voit qu'on a intérêt à maintenir notre choix et empocher les 20.
<BR>
<BR>Question2 : D'où vient le problème ?
<BR>
<BR>Dans les exemples que l'on a donnés, l'information qui permettait de prendre une décision intelligente était une information d'échelle. Si on sait que la somme est entière, un c'est forcément petit. Si on sait qu'elle est bornée par 30, 20 c'est plutôt grand. Bref, cela introduit implicitement une notion d'ordre de grandeur.
<BR>
<BR>Question3 : Comment modéliser le problème alors ?
<BR>
<BR>Notons S la plus petite somme et 2*S l'autre.
<BR>Faute d'informations supplémentaires, on suppose que l'on a une variable aléatoire réelle. On désigne alors par <IMG WIDTH="43" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/26109/cv/img1.png&quot; ALT="$ p_{S}(x)$"> et <IMG WIDTH="49" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/26109/cv/img2.png&quot; ALT="$ p_{2S}(x)$"> leurs densités de probabilité respectives.
<BR>
<BR>On cherche <IMG WIDTH="43" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/26109/cv/img3.png&quot; ALT="$ P_{1}(x)$"> la probabilité que la boîte choisie soit la boîte contenant S sachant que son contenu vaut x et <IMG WIDTH="43" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/26109/cv/img4.png&quot; ALT="$ P_{2}(x)$"> la probabilité que la boîte choisie soit la boîte contenant 2S sachant que son contenu vaut x.
<BR>On a :
<BR><!-- MATH $P_{1}(x)=\frac{p_{S}(x)}{p_{S}(x)+p_{2S}(x)}$ --><IMG WIDTH="147" HEIGHT="40" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/26109/cv/img5.png&quot; ALT="$ P_{1}(x)=\frac{p_{S}(x)}{p_{S}(x)+p_{2S}(x)}$">
<BR><!-- MATH $P_{2}(x)=\frac{p_{2S}(x)}{p_{S}(x)+p_{2S}(x)}$ --><IMG WIDTH="147" HEIGHT="40" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/26109/cv/img6.png&quot; ALT="$ P_{2}(x)=\frac{p_{2S}(x)}{p_{S}(x)+p_{2S}(x)}$">
<BR>
<BR>La gain obtenu en changeant de boîte vaut alors :
<BR>
<BR><!-- MATH $gain = x\frac{p_{S}(x)-p_{2S}(x)/2}{p_{S}(x)+p_{2S}(x)}$ --><IMG WIDTH="162" HEIGHT="40" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/26109/cv/img7.png&quot; ALT="$ gain = x\frac{p_{S}(x)-p_{2S}(x)/2}{p_{S}(x)+p_{2S}(x)}$">
<BR>
<BR>On constate que le gain n'est nul que si <!-- MATH $p_{S}(x)=p_{2S}(x)/2$ --><IMG WIDTH="125" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/26109/cv/img8.png&quot; ALT="$ p_{S}(x)=p_{2S}(x)/2$">.
<BR>
<BR>Or <!-- MATH $p_{2S}(x)=p_{S}(x/2)/2$ --><IMG WIDTH="141" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/26109/cv/img9.png&quot; ALT="$ p_{2S}(x)=p_{S}(x/2)/2$">.
<BR>
<BR>Ce qui donne <!-- MATH $p_{S}(x)=p_{S}(x/2)/4$ --><IMG WIDTH="135" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/26109/cv/img10.png&quot; ALT="$ p_{S}(x)=p_{S}(x/2)/4$">
<BR>
<BR>C'est ennuyeux...
<BR>
<BR>Si quelqu'un a une idée. J'aurais attendu une loi de Jeffreys mais visiblement ce n'est pas le cas...
<BR>
<BR>Arnaud<BR>

Bonjour,

Je ne pense pas que Hofstadter soit incompétent, bien au contraire.
Seulement, il aime écrire des livres pour le grand public.... C'est pour cela qu'il pousse le bouchon un peu loin...

"La stratégie "je maintiens" donnera alors une espérance de 1.5n et la stratégie "je change" donnera une espérance de ... 1.5n."

J'avoue ne pas comprendre l'argumentation de Bruno Gréco.

Si les enveloppes contiennent 10 et 20, et si le joueur choisit l'enveloppe à 20, il peut penser que l'autre contient 10 ou 40; mais en fait, le contenu de l'autre est déterminé et il est absurde de fixer la proba 1/2 à 10 et à 40.

On pourrait faire cette hypothèse avec une autre règle. Le joueur reçoit, par exemple 100 €. Il peut garder cette somme ou choisir entre une enveloppe qui contient 50 ou une qui contient 200. S'il tombe, par exemple, sur 200, il a alors le choix entre une enveloppe qui contient 100 et une qui contient 400 etc..
Mais dans le cas de notre jeu, l'attribution de la probabilité 1/2 est absurde.

Oui, l'attribution de la probabilité 1/2 est absurde dans ce cas. Il faut la remplacer par 1/3 et 2/3. La question est : à quoi ces probabilités correspondent-elles ?

Ce que semble signifier ce paradoxe c'est que la valeur de la boîte choisie donne une indication de l'emplacement de la boîte contenant la somme simple et de celle contenant la somme double. Non ?

Arnaud

Hier, j'avais lu un peu trop vite le message de Bruno Gréco, et j'avais tout compris de travers. Il est clair que nous sommes d'accord.

On est bien d'accord sur l'interprétation intuitive de "gain moyen". Imaginons 1000 personnes qui jouent à ce jeu, environ 500 gagneront n et 500 gagneront 2n=> gain moyen : 1.5 n. Non ?