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Paradoxe d'Hofstadter ?

Envoyé par Félix MARIE 
Félix MARIE
Paradoxe d'Hofstadter ?
il y a quinze années
Bonjour,

Je viens de trouver votre site par hasard et je crains que ma question soit assez hors sujet par rapport à vos préoccupations.
Cependant je la pose :
J'ai lu récemment, dans le hors série "Paradoxes" de la revue Sciences et Avenir, un interview de Douglas Hofstadter, l'auteur d'un livre (séreux? je ne l'ai pas lu) sur Gödel.
Il parle d'un paradoxe qui serait récent, aurait fait déjà coulé beaucoup d'encre, et au sujet duquel de "bons mathématiciens" sécheraient. Il s'agit de deux boîtes closes, renfermant l'une une certaine somme, l'autre le double de cette somme. On vous invite à faire le choix d'une boîte. Puis on vous "démontre" alors que prendre l'autre boîte serait plus judicieux, l'espérance mathématique étant piour elle de 1,25 fois la somme que vous avez en mains (sans encore avoir ouvert votre boîte).
Or il est facile de démonter l'erreur de raisonnement (ou plus prosaïquement de calcul) de ce prétendu paradoxe.
Aussi j'ai bien du mal à croire, d'une part que de nombreux mathématiciens aient publié récemment sur ce sujet, de l'autre (et surtout) que ces mathématiciens ne le résolvent pas, car ça me semble très élémentaire.
Je serais enclin à penser, ou que cette personne se soit moquée de la journaliste qui l'interwievait, ou que le statut de professeur de sciences cognitives d'une université américaine soit accordé à de bien faibles intellectuels !
Si une personne que je n'ai pas trop ennuyée avec mon verbiage détient la réponse à mon interrogation, je serais heureux de la connaître.
Merci

Félix
Bibi
Re: Paradoxe d'Hofstadter ?
il y a quinze années
C'est un paradoxe bien connu.
Supposons que la boîte choisie contienne 10 euros.
L'autre boîte en contient soit 5, soit 20 euros (avec probabilités égales).
Notons X le gain si on échange.
On a alors :
E(X) = 1/2 * 50 * 1/2 *200 = 125 > 100
On aurait avantage à échanger...
Ce qui est très génant car, a priori, aucune des deux boîtes n'est privilégiée.

Ceci dit, je ne crois pas qu'il faille en rester à l'interprétation de simple calcul d'espérance... Il y a bien d'autres façons de modéliser le problème qui donneront des conclusions différentes...

Un des problèmes aussi est que l'on a supposé que la probabilité que l'autre boîte contienne 5 euros est égale à celle qu'elle en contienne 20. Ce qui est purement arbitraire. On pourrait penser que P(5)>p(20) car les organisateurs ne veulent pas avoir trop de perte. En fait, on a aucune information sur ces probabilités...

Et si on utilisait la loi de Benford ? (Qui affirme que la combinaison {10,20} est plus probable que {5,10}...)

Bof...

Attendons de voir ce qu'en disent les collègues de ce forum...
Eric Lafosse
Re: Paradoxe d'Hofstadter ?
il y a quinze années
Rappelons également que l'espérance n'a de sens que sur un grand nombre d'expériences aléatoires identiques : elle ne représente alors que le gain moyen sur plusieurs tirages...
Cela me fait penser à un collègue que j'ai eu il ya quelques années et qui avait enseigné à ses élèves de TES (j'avais l'autre TES du lycée et j'ai corrigé ses copies lors d'un bac blanc...) que si l'espérance d'un jeu était positive pour un des deux joueurs, c'est qu'il avait plus de chances de gagner. ET on était justement dans un cas ou la répartition des gains était telle que celui qui avait le moins de chances de gagner avait une espérance qui l'avantageait : moralité: il était bon pour lui de jouer plusieurs faois et pas une seule...
Bon, quand j'ai su que le collègue donnait 1 chance sur 11 à chaque résultat de 2 à 12 pour el lancer de deux dés, j'ai compris des choses...
Bibi
Re: Paradoxe d'Hofstadter ?
il y a quinze années
Dans ce cas là, effectivement, il y avait intérêt à échanger ! (De collègue...) smiling smiley)
Denis
Re: Paradoxe d'Hofstadter ?
il y a quinze années
La loi de Benford..... Voilà probablement la loi la plus extraordinaire de toute la statistique que je connais (c'est-à-dire presque rien)!

Denis
Richard André-Jeannin
Re: Paradoxe d'Hofstadter ?
il y a quinze années
Je demande, comme Denis, des précisions sur la loi de Benford.
Le sujet a donné lieu à d'abondantes discussions sur ce forum, il y a environ 9 mois. De mémoire, il n'y avait pas eu d'entente finale des participants. Les interventions de Bibi et d'Eric Lafosse pourraient appeler des commentaires, mais je préfère remettre à plus tard.
Richard André-Jeannin
Re: Paradoxe d'Hofstadter ?
il y a quinze années
En entrant "loi de Benford" dans Google, on a un certain nombre de réponses à première vue intéressantes.
Bibi
Re: Paradoxe d'Hofstadter ?
il y a quinze années
Loi de Benford :
En gros, si on relève une série de nombres (dans la nature, suite à des mesures par exemple) et qu'on regarde le premier chiffre significatif, la loi de Benford affirme qu'il n'y a pas équirépartition entre 1, 2 ,....9. Et ceci indépendamment des unités de mesures choisies. Ainsi la majorité des relevés commenceraient par le chiffre 1...
Dans cette loi, si on note E={1;2;...;9}, la probabilité p(k) q'un relevé commence par le chiffre k est : p(k)=log(1+1/k)
(log décimal)
On vérifie qu'il s'agit bien d'une loi de proba.
Mais je plaisantais en suggerant de l'appliquer au problème de Félix. (Histoire de dire qu'il a mille façons de penser le problème)
stéphane
Re: Paradoxe d'Hofstadter ?
il y a quinze années
Paraît que la loi de BENFORD sert de test au FISC américain pour dénicher les fraudeurs
Arnaud
Re: Paradoxe d'Hofstadter ?
il y a quinze années
<!--latex-->Vos réponses me surprennent beaucoup, surtout celle de Bibi. Il y a effectivement un paradoxe qui y ressemble extérieurement beaucoup mais qui n'a au fond rien voir. Il s'agit de ce que j'appelle le paradoxe de la fête foraine. Il met en scène un jeu aussi célèbre qu'amusant. Son principe est très simple. Le forain dispose trois gobelets et dissimule une balle sous l'un des trois. Le participant doit deviner laquelle. La situation de l'énoncé est la suivante : <BR> <BR>-le joueur désigne un gobelet, <BR>-le forain lui dit "je vais vous aider" et retourne un des deux autres gobelets, <BR>-il n'y avait pas la balle sous le gobelet retourné. <BR> <BR>La question est : le joueur a-t-il intérêt à changer d'avis ? <BR> <BR>Une manière naïve de probabiliser le problème est de dire que le joueur avait 1/3 de se tromper au départ. Par conséquent, il y avait deux chances sur trois que la balle soit sous un des deux autres gobelets. Le forain, dans sa grande bonté, ayant révélé un de ces deux gobelets, sous lequel le sort a voulu que la balle ne soit pas, le gobelet survivant hérite donc des 2/3 de probabilité. On voit donc que le problème ainsi formalisé conduit à penser qu'il est plus avantageux de changer. Une formalisation un peu plus réaliste aboutit évidemment à la conclusion contraire : le joueur doit maintenir son choix. C'est un problème édifiant. Je laisse maintenant réfléchir dessus ceux qui le voudraient . <BR> <BR>Pour en revenir, au paradoxe rapporté par Félix Marie, appelons X et 2X les sommes contenues dans les deux boîtes. En supposant comme il l'a fait que l'on choisit avec les probabilités 1/2 et 1/2 la boîte à X ou celle à 2X. La perspective de gain est : <BR> <BR>Gain = (1/2)*GainX+(1/2)*Gain2X <BR>GainY étant le gain obtenu en changeant, sachant que le premier choix avait désigné la boîte contenant la somme Y <BR> <BR>GainX = X (on échange notre boîte à X contre notre boîte à 2X) <BR>Gain2X = -X (influencé par les publicités de lessive, on échange notre boîte à 2X contre une à X) <BR> <BR>Le gain est donc nul. C'est heureux. <BR> <BR>L'erreur ne vient pas donc pas de la probabilisation. L'erreur vient de ce que l'on ajoute des gains relatifs. Or on sait bien qu'il ne faut pas le faire, que c'est très mal. Contrairement à ce qu'on peut croire, une augmentation de 1<BR>
Arnaud
Re: Paradoxe d'Hofstadter ?
il y a quinze années
L'erreur ne vient pas donc pas de la probabilisation. L'erreur vient de ce que l'on ajoute des gains relatifs. Or on sait bien qu'il ne faut pas le faire, que c'est très mal. Contrairement à ce qu'on peut croire, une augmentation de 1% combinée à une baisse de 1% ne se solde pas par un statut quo mais par une baisse de 1/10000. Corollairement un gain nul ne peut correspondre à une somme algébrique nulle des gains relatifs.

Je finis sur la Loi de Benford. Personnellement, je la comprends de la manière suivante. Si on compte froidement le nombre de nombres commençant par 9, en considérant des entiers rangés dans l'ordre, on se rend compte qu'il faut attendre toujours beaucoup plus longtemps avant de tomber sur un 9 que sur 1 En gros, mon idée ce serait de considérer la répartir des premiers chiffres pour des nombres inférieurs à N et d'en calculer la moyenne sur N : ie $lim_{N\longrightarrow\infty}\frac{1}{N} \sum_{N} Repartition_{N}$
Je ne sais pas si on tombe sur la fameuse loi de Benford. J'avais essayé de calculer tout ça mais ça m'avait vite saoûler.

Bon week-end

Arnaud, un peu long sur ce coup
Arnaud
Re: Paradoxe d'Hofstadter ?
il y a quinze années
<!--latex-->L'erreur ne vient pas donc pas de la probabilisation. L'erreur vient de ce que l'on ajoute des gains relatifs. Or on sait bien qu'il ne faut pas le faire, que c'est très mal. Contrairement à ce qu'on peut croire, une augmentation de 1<BR>
Arnaud
Re: Paradoxe d'Hofstadter ?
il y a quinze années
<!--latex-->
Arnaud
Re: Paradoxe d'Hofstadter ?
il y a quinze années
Bon, visiblement j'ai un problème avec Latex et les pourcentages.


Arnaud, désolé
Eric
Re: Paradoxe d'Hofstadter ?
il y a quinze années
<!--latex-->Il faut mettre un anti-slash devant le pourcent <code>\%</code> <BR> <BR>Et hop ! %<BR><BR><BR>
Arnaud
Re: Paradoxe d'Hofstadter ?
il y a quinze années
Merci :o)
Richard André-Jeannin
Re: Paradoxe d'Hofstadter ?
il y a quinze années
Supposons l'une des boîtes avec 10 € et l'autre avec 20 €. Si le joueur choisit la boîte à 20 €, il hésite sur le contenu de l'autre, qui peut être de 10 € ou de 40 €, ce qui va lui donner une moyenne virtuelle de 25 € en changeant de boîte. Ceci est absurde, puisque le gain maximal est de 20 €. L'erreur consiste à attribuer des probabilités 1/2 à 10 et 40.
Arnaud
Re: Paradoxe d'Hofstadter ?
il y a quinze années
<!--latex-->Je n'ai pas tout compris à cette histoire de gain maximal (dans votre calcul, la moyenne après changement étant de 25, le gain serait de 5) mais je comprends désormais la nature de votre dilemme. <BR> <BR>Vu sous cette angle en effet, on ne peut attribuer les probabilités de 1/2 et 1/2 à 10 et 40. Le problème étant qu'on se place du point de vue du joueur, ce qui explique qu'on ait à s'intéresser à la probabilité de la somme de 40 euros. Ca me semble être une approche inutilement compliquée dans ce cas précis (cf. mon calcul de gain avec des hypothèses raisonnables) mais bon on peut aussi s'y intéresser, c'est vrai. Je vais essayer d'être clair. <BR> <BR>Question1 : En quoi le problème peut être délicat ? <BR> <BR>Le problème est délicat dans la mesure où le fait que le gain obtenu en changeant de choix soit nul ne va pas toujours de soi. Si on suppose qu'une somme est forcément entière alors dans le cas où par exemple la boîte que l'on a choisi renferme 1 euro, on sait que l'on a forcément intérêt à en changer. Inversement, si on sait que la somme ne peut pas dépasser 30 euros, on voit qu'on a intérêt à maintenir notre choix et empocher les 20. <BR> <BR>Question2 : D'où vient le problème ? <BR> <BR>Dans les exemples que l'on a donnés, l'information qui permettait de prendre une décision intelligente était une information d'échelle. Si on sait que la somme est entière, un c'est forcément petit. Si on sait qu'elle est bornée par 30, 20 c'est plutôt grand. Bref, cela introduit implicitement une notion d'ordre de grandeur. <BR> <BR>Question3 : Comment modéliser le problème alors ? <BR> <BR>Notons S la plus petite somme et 2*S l'autre. <BR>Faute d'informations supplémentaires, on suppose que l'on a une variable aléatoire réelle. On désigne alors par <IMG WIDTH="43" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="[www.les-mathematiques.net]; ALT="$ p_{S}(x)$"> et <IMG WIDTH="49" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="[www.les-mathematiques.net]; ALT="$ p_{2S}(x)$"> leurs densités de probabilité respectives. <BR> <BR>On cherche <IMG WIDTH="43" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="[www.les-mathematiques.net]; ALT="$ P_{1}(x)$"> la probabilité que la boîte choisie soit la boîte contenant S sachant que son contenu vaut x et <IMG WIDTH="43" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="[www.les-mathematiques.net]; ALT="$ P_{2}(x)$"> la probabilité que la boîte choisie soit la boîte contenant 2S sachant que son contenu vaut x. <BR>On a : <BR><!-- MATH $P_{1}(x)=\frac{p_{S}(x)}{p_{S}(x)+p_{2S}(x)}$ --><IMG WIDTH="147" HEIGHT="40" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="[www.les-mathematiques.net]; ALT="$ P_{1}(x)=\frac{p_{S}(x)}{p_{S}(x)+p_{2S}(x)}$"> <BR><!-- MATH $P_{2}(x)=\frac{p_{2S}(x)}{p_{S}(x)+p_{2S}(x)}$ --><IMG WIDTH="147" HEIGHT="40" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="[www.les-mathematiques.net]; ALT="$ P_{2}(x)=\frac{p_{2S}(x)}{p_{S}(x)+p_{2S}(x)}$"> <BR> <BR>La gain obtenu en changeant de boîte vaut alors : <BR> <BR><!-- MATH $gain = x\frac{p_{S}(x)-p_{2S}(x)/2}{p_{S}(x)+p_{2S}(x)}$ --><IMG WIDTH="162" HEIGHT="40" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="[www.les-mathematiques.net]; ALT="$ gain = x\frac{p_{S}(x)-p_{2S}(x)/2}{p_{S}(x)+p_{2S}(x)}$"> <BR> <BR>On constate que le gain n'est nul que si <!-- MATH $p_{S}(x)=p_{2S}(x)/2$ --><IMG WIDTH="125" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="[www.les-mathematiques.net]; ALT="$ p_{S}(x)=p_{2S}(x)/2$">. <BR> <BR>Or <!-- MATH $p_{2S}(x)=p_{S}(x/2)/2$ --><IMG WIDTH="141" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="[www.les-mathematiques.net]; ALT="$ p_{2S}(x)=p_{S}(x/2)/2$">. <BR> <BR>Ce qui donne <!-- MATH $p_{S}(x)=p_{S}(x/2)/4$ --><IMG WIDTH="135" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="[www.les-mathematiques.net]; ALT="$ p_{S}(x)=p_{S}(x/2)/4$"> <BR> <BR>C'est ennuyeux... <BR> <BR>Si quelqu'un a une idée. J'aurais attendu une loi de Jeffreys mais visiblement ce n'est pas le cas... <BR> <BR>Arnaud<BR>
Félix MARIE
Re: Paradoxe d'Hofstadter ?
il y a quinze années
Bonjour,

Je lis ce jour seulement les réponses à ma question. Vous avez bien vu que le calcul d'Hofstadter est de poser une inconnue (le contenu de la boîte que vous avez en main), puis de dire que l'autre boîte contient soit la moitié soit le double de cette somme, et que la probabilité de gain en choisissant l'autre boîte est alors 1/2 * X/2 + 1/2 * 2X.
Or c'est un calcul faux, car dans cette équation la valeur de x n'est pas la constante. En effet, on part d'une somme et de son double, et on aboutit à une équation avec une somme (x/2) et son quadruple (2x), ce qui a priori m'a fait bondir.
Ensuite, on se laisse facilement "embobiner" par le discours tenu, mais avec quelques instants de réflexion on revient à la première remarque : si l'on peut parler de x/2, c'est que l'on a la somme 2S en main. Quand on parle de 2x, c'est parce qu'on a la somme S en main.
L'équation réelle est donc la suivante :
1/2 S + 1/2 * 2S
donc 1,5 * S
On trouve bien sûr la même valeur si l'on cherche l'espérance de gain au premier choix :
Une boîte contient S, probabilité 1/2
L'autre contient 2S, probabilité 1/2.

On a bien la même espérance mathématique; le prétendu paradoxe se résoud tout simplement par une erreur de calcul, due à une rélexion fautive, à une erreur de raisonnement dans la modélisation qui a conduit à l'équation.

En fait ma question était de connaître l'historique de ce paradoxe, si comme le prétend Hofstadter il est très connu et encore non résolu (ce dont je doute fort), et en fin de compte de comprendre si l'"auteur" s'est moqué de la journaliste et de ses lecteurs, s'il est totalement incompétent, ou s'il croit de bonne foi à son erreur.

Merci de votre réponse.
Bibi
Re: Paradoxe d'Hofstadter ?
il y a quinze années
Bonjour,

Je ne pense pas que Hofstadter soit incompétent, bien au contraire.
Seulement, il aime écrire des livres pour le grand public.... C'est pour cela qu'il pousse le bouchon un peu loin...
Désolé, vous n'avez pas la permission d'envoyer ou de répondre dans ce forum.
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