Blanchard - Corps non commutatifs

As-tu essayé amazon.fr, alapage.com etc ?
Sinon, juste une question pour te booster un peu (ça serait mieux que tu essayes d'y répondre avant d'avoir eu le bouquin dans les mains).
C'est une question qui m'a été posée à l'oral de l'agreg. J'ai su y répondre, mais j'avoue avoir transpiré quelques secondes avant de trouver dans quelle direction il fallait chercher :
«Connaissez-vous un exemple de corps non commutatif dénombrable ?»

<!--latex-->Ouais, ça a l'air de marcher, je n'y avais pas pensé.
<BR>En fait la question du jury visait à me faire utiliser un truc qui traînait dans ma leçon.
<BR>Il s'agissait de ce qu'on appelle les corps de Hilbert, je vais essayer de vous en donner une description rapide.
<BR>Soit <IMG WIDTH="13" HEIGHT="15" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/26138/cv/img1.png&quot; ALT="$ k$"> un corps commutatif, et <IMG WIDTH="14" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/26138/cv/img2.png&quot; ALT="$ \sigma$"> une involution non triviale de <IMG WIDTH="13" HEIGHT="15" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/26138/cv/img1.png&quot; ALT="$ k$">.
<BR>On note <IMG WIDTH="19" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/26138/cv/img3.png&quot; ALT="$ K$"> le corps des séries de Laurent formelles à une indéterminée à coefficients dans <IMG WIDTH="13" HEIGHT="15" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/26138/cv/img1.png&quot; ALT="$ k$">.
<BR><IMG WIDTH="19" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/26138/cv/img3.png&quot; ALT="$ K$"> est donc l'ensemble des séries formelles qui peuvent s'écrire <!-- MATH $\sum_{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}X^{n}$ --><IMG WIDTH="96" HEIGHT="33" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/26138/cv/img4.png&quot; ALT="$ \sum_{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}X^{n}$">, où <!-- MATH $n_{0}\in \mathbb{Z}$ --><IMG WIDTH="51" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/26138/cv/img5.png&quot; ALT="$ n_{0}\in \mathbb{Z}$">.
<BR><IMG WIDTH="19" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/26138/cv/img3.png&quot; ALT="$ K$"> est aussi le corps des fractions de l'anneau de séries formelles <!-- MATH $k\left[ \left[ X\right] \right]$ --><IMG WIDTH="48" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/26138/cv/img6.png&quot; ALT="$ k\left[ \left[ X\right] \right] $">.
<BR>Muni des opérations usuelles, <IMG WIDTH="19" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/26138/cv/img3.png&quot; ALT="$ K$"> est bien sûr un corps commutatif, mais on va maintenant le munir d'une multiplication «spéciale», que l'on notera *, en posant
<BR><!-- MATH $(aX^{n})\ast (bX^{p})=a.\sigma ^{n}(b).X^{n+p}$ --><IMG WIDTH="219" HEIGHT="33" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/26138/cv/img7.png&quot; ALT="$ (aX^{n})\ast (bX^{p})=a.\sigma ^{n}(b).X^{n+p}$">, où sigma nième désigne l'itérée nième de sigma, et où l'on prolonge la multiplication ainsi définie par distributivité.
<BR>On montre alors que <IMG WIDTH="19" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/26138/cv/img3.png&quot; ALT="$ K$"> est un corps non commutatif, qui contient <IMG WIDTH="13" HEIGHT="15" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/26138/cv/img1.png&quot; ALT="$ k$"> en son centre... et je vous laisse le soin de vous servir de ça pour construire un corps non commutatif dénombrable.<BR>

<!--latex-->Pour Gilles, tu construis un isomophisme d'espace vectoriel sur <!-- MATH $\mathbb{Q}$ --><IMG WIDTH="16" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/26139/cv/img1.png&quot; ALT="$ \mathbb{Q}$"> entre <!-- MATH $\mathbb{Q}^4$ --><IMG WIDTH="24" HEIGHT="33" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/26139/cv/img2.png&quot; ALT="$ \mathbb{Q}^4$"> et l'ensemble des quaternions à coordonnées rationnelles <IMG WIDTH="15" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/26139/cv/img3.png&quot; ALT="$ L$"> grâce à <!-- MATH $\theta:\mathbb{Q}^4\longrightarrow L$ --><IMG WIDTH="90" HEIGHT="33" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/26139/cv/img4.png&quot; ALT="$ \theta:\mathbb{Q}^4\longrightarrow L$"> <!-- MATH $(x_1,x_2,x_3,x_4)\longrightarrow x_1+x_2.i+x_3.j+x_4.k$ --><IMG WIDTH="295" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/26139/cv/img5.png&quot; ALT="$ (x_1,x_2,x_3,x_4)\longrightarrow x_1+x_2.i+x_3.j+x_4.k$">.
<BR>Pour Martial, si on refait pareil et qu'on prend les séries de Laurent à coefficient dans <!-- MATH $\mathbb{Q}$ --><IMG WIDTH="16" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/26139/cv/img1.png&quot; ALT="$ \mathbb{Q}$">?<BR><BR><BR>

<!--latex-->Pour Manu : avec <!-- MATH $\mathbb{Q}$ --><IMG WIDTH="16" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/26144/cv/img1.png&quot; ALT="$ \mathbb{Q}$"> ça marche pas, car la seule involution est l'identité.
<BR>Mais l'idée est bonne : il faut partir d'un corps commutatif dénombrable sur lequel existe une involution non triviale.
<BR>Je te laisse gérer...<BR>

euh.... l'anneau des series formelles sur n'importe quel corps n'est, me semble-t-il, jamais dénombrable (!)
n'empeche, la meilleure methode pour construire un corps non commutatif equipotent a un ensemble infini I donne est, a mon gout, de prendre :

K=k{x,y}/<x^2+1,y^2+1,xy+yx>
ou k=Q(I) est le corps des fractions rationnelles sur Q à I indéterminées
et k{x,y} est l'anneau non commutatif "libre" engendre par x et y sur k.
K ( les quaternions sur k ) est non commutatif et equipotent a I....

a+

euh... richard si, les corps non commutatifs excitent carrement les foules, c'est la theorie du groupe de Brauer : le cas le plus simple etant celui d'un corps k commutatif, on considere les k-algebres de dimension finie, de centre k, sans ideal bilatere non trivial, en identifiant A et B si M_n(A) est isomorphe a M_m(B) pour deux entiers n et m. cet ensemble, muni de la loi de groupe donnee par le produit tensoriel, est un groupe commutatif, appele groupe de Brauer de k. c'est aussi le 2-eme groupe de cohomologie etale a coefficients dans le groupe multiplicatif de k. Dans le cas de schemas generaux sur une base donnee S, cette theorie existe aussi, en considerant des faisceaux d'algebres localement isomorphes a End(O_X^n). Dans le cas des corps, toute algebre simple centrale est isomorphe une algebre de matrices sur un corps gauche de centre k. Le groupe de Brauer d'un corps k est donc en bijection avec les classes d'isomorphie de corps gauches, de centre k. Par exemple, le groupe de Brauer d'un corps p-adique est isomorphe a Q/Z, et on a la suite exacte de Brauer-Hasse-Noether decrivant le groupe de Brauer d'un corps de nombres.
Je m'emballe peut-etre un peu, mais c'est pour dire que c'est une theorie feconde, encore aujourd'hui, elle passionne les meilleurs mathematiciens. Grothendieck a ecrit a ce sujet "le groupe de Brauer I, II, III", on y trouve une exposition insurpassée de cette théorie.

a+

Un corps non-commutatif, c'est ce qu'on appelle un anneau à divisions (une alg à divisions est un anneau à divisions qui est en même temps une alg sur un corps), je crois... et je m'en sert tous les jours (en ce moment en tout cas): un anneau artinien (à gauche par ex, si il n'est pas commutatif) simple est isomorphe à un anneau de matrices M_n(D) sur un anneau à divisions, et réciproquement.
De même, une algèbre simple de dimension finie (ça remplace le "artinien") est isomorphe (isom.d'alg., cette fois ci) à une algèbre de matrices sur une algèbre à divisions.
On continue: la seule alg à division de dim finie sur C est C, et les seules alg à divisions de dim finie sur R sont R, C, H.
Bref, ça a bcp plus d'utilisations que je ne le pensais le mois dernier !!!

Etienne

Votre remarque me rappelle une interview d'un musicien contemporain (Xenakis, si ma mémoire est bonne), entendue à la radio il y a longtemps ( bien avant votre naissance). Il avouait ne rien connaître aux maths, mais passer des heures à lire Bourbaki, parcequ'il trouvait cela beau. Il est facile de se griser de mots (voir l'intervention de Mathieu ci-dessus), mais à un moment ou à l'autre, il faut passer à l'acte (par exemple essayer de comprendre ligne à ligne). Et là, souvent, on trouve que, finalement, c'est épouventablement ch...

Au fait tu vas dans quel lycée ?
Plutôt que de dire un grand lycée parisien, tu peux dire Louis-Le-Grand ou Henri IV

Manu. écrivait:

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> Oui, en effet, j'avais complétement oublié cette histoire d'involution. Si on prend le sous corps $\mathbb{Q}+i\mathbb{Q}$
> ce coup là ça devrait aller, on a la conjugaison comme involution et les séries de Laurent à coefficient là dedans doivent former
> un sous-corps non commutatif et dénombrable.


Heu et la question d'origine ?
Sinon dans les problèmes d'arithmétique et de théorie des corps de Bruno Deschamps (Hermann) on construit sans K-théorie ou machin de Brauer une structure d'algèbre à division (de corps non commutatif si vous voulez) sur $\mathbb{Q}^9$. Il est évidemment dénombrable et A. Grothendieck peut continuer à nourrir ses chèvres.

Plus généralement on peut le faire sur $\mathbb{Q}^{n^2}$.

Quel amour du détail j'admire !

Et quid d'André Blanchard et de son introuvable petit bouquin qui coûtait 50 FF à l'époque et qu'on trouve à 120 euros sur priceminister ?